استخدم طريقة هوين (أويلر المحسّنة) مع h = 0,25 للمسألة y′ = t − y، y(0) = 1 لتقدير y3 ≈ y(0,75).
y′ = t − yy(0) = 1h = 0,25
y3 =
3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة
جد نصف قطر التقارب R لمتسلسلة القوى Σk=1∞ 4ᵏx²ᵏ/k.
Σ 4ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0
R =
4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة
استخدم كثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 5 للدالة f(x) = sin(2x) لتقريب f(−1). أعطِ P₅(−1).
f(x) = sin(2x)n = 5x = −1
P₅(−1) =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.
A = [5 −2 2; 0 0 −1; −4 −5 2]
det A =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
حُلّ النظام 6x + 4y = 2 و −5x − 5y = −11. أوجد x.
6x + 4y = 2−5x − 5y = −11
x =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
كوب قهوة عند 90 °C تُرك في غرفة عند 23 °C. بعد 21 min تكون درجة حرارتها 30 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 25 °C؟
T0 = 90 °CTa = 23 °CT(21) = 30 °CT = 25 °C
t = min
8.المعادلات التفاضليةصعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 6,25y = 62,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 6,25y = 62,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3المحاليل
1.الطرائق العددية
الإجابة: |E| = 0,0625
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
القيمة الدقيقة
I = 0,25
قاعدة شبه المنحرف
T = (0,5/2)·(0 + 2·0,125 + 1) = 0,3125
الخطأ
|E| = |0,3125 − 0,25| = 0,0625
الإجابة
|E| = 0,0625
الخطأ النسبي: 25%.
2.الطرائق العددية
الإجابة: y3 = 0,7037
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.
المعاملات
المتسلسلة بدلالة x²: تتقارب عندما 4·x² < 1، أي |x| < 1/2.
نصف القطر
R = 0,5
الإجابة
R = 0,5
لا يقول اختبار النسبة شيئًا عند الطرفين؛ ويجب فحصهما على حدة.
4.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: P₅(−1) = −0,9333
كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.
كثيرة حدود ماكلورين
P₅(x) = 2x − 1,333x³ + 0,2667x⁵
عوّض
P₅(−1) = −2 + 1,333333 − 0,266667 = −0,9333
الإجابة
P₅(−1) = −0,9333
القيمة الدقيقة هي f(−1) = −0,909297؛ ويتناقص الخطأ 0,0240359 عند أخذ حدود أكثر أو نقطة أقرب إلى 0.
5.المصفوفات والمحددات
الإجابة: det A = −33
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
مصغّرات 2×2 للصف الأول
M₁₁ = −5, M₁₂ = −4, M₁₃ = 0
النشر بالمعاملات المرافقة
det A = 5·(−5) − (−2)·(−4) + 2·0 = −33
الإجابة
det A = −33
6.المصفوفات والمحددات
الإجابة: x = −3,4
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
محدد مصفوفة المعاملات
det A = 6·(−5) − 4·(−5) = −10
استبدل عمود x
det Aₓ = 2·(−5) − 4·(−11) = 34
x = 34/(−10) = −3,4
الإجابة
x = −3,4
y = 5,6
7.المعادلات التفاضلية
الإجابة: t = 32,65 min
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
ثابت التبريد
k = ln(67/7)/21 = 0,1076 min⁻¹
الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة
t = ln(67/2)/0,1076 = 32,65 min
الإجابة
t = 32,65 min
8.المعادلات التفاضلية
الإجابة: ymax = 10,95
المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.