استخدم طريقة أويلر مع h = 0,2 للمسألة y′ = y − t²، y(0) = 2 لتقدير y5 ≈ y(1).
y′ = y − t²y(0) = 2h = 0,2
y5 =
3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة
متسلسلة واحدة بالضبط من المتسلسلات الأربع تتقارب. انقر عليها.
A: Σ (5/3)ᵏB: Σ ln k / kC: Σ 5/k⁴D: Σ k/(k + 2)
1A: Σ (5/3)ᵏ
2B: Σ ln k / k
3C: Σ 5/k⁴
4D: Σ k/(k + 2)
4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة
تُقرَّب f(x) = sin x عند x = 1,5 بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة n. مع حد لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! و M = 1، جد أصغر درجة n تضمن خطأً أقل من 1 × 10⁻⁶.
f(x) = sin xx = 1,5M = 1ε = 1 × 10⁻⁶
n =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
لتكن C = AB للمصفوفتين المعروضتين. أوجد العنصر c21 (الصف 2، العمود 1).
A = [3 −1; −6 −3]B = [5 −5; 4 5]
c21 =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
حُلّ النظام x − 4y = −4 و −2x − 3y = 12. أوجد x.
x − 4y = −4−2x − 3y = 12
x =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 380 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,02 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 13 min.
T0 = 380 °CTa = 24 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 13 min
T = °C
8.المعادلات التفاضليةصعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 4,25y = 8,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 4,25y = 8,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
3المحاليل
1.الطرائق العددية
الإجابة: |E| = 0,001297
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
القيمة الدقيقة
I = 0,693147
قاعدة سيمبسون
S = (0,5/3)·(1 + 4·0,666667 + 0,5) = 0,694444
الخطأ
|E| = |0,694444 − 0,693147| = 0,001297
الإجابة
|E| = 0,001297
الخطأ النسبي: 0,1872%.
2.الطرائق العددية
الإجابة: y5 = 4,702
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات أويلر
y₁ = 2 + 0,2·(2) = 2,4
y₂ = 2,4 + 0,2·(2,36) = 2,872
y₃ = 2,872 + 0,2·(2,712) = 3,4144
y₄ = 3,4144 + 0,2·(3,0544) = 4,02528
y₅ = 4,02528 + 0,2·(3,38528) = 4,702336
الرسم البياني
y5 = 4,702
الإجابة
y5 = 4,702
القيمة الدقيقة هي y(1) = 5.
3.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: C: Σ 5/k⁴
التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.
اختبر كل متسلسلة
A: Σ (5/3)ᵏ → هندسية مع r = 5/3 > 1: تنمو الحدود، فتتباعد.
B: Σ ln k / k → أكبر من 1/k لـ k ≥ 3: تتباعد بالمقارنة مع المتسلسلة التوافقية.
C: Σ 5/k⁴ → متسلسلة p مع p = 4 > 1: تتقارب.
D: Σ k/(k + 2) → تؤول الحدود إلى 1 لا إلى 0: تتباعد باختبار الحد النوني.
الجواب
C: Σ 5/k⁴
الإجابة
C: Σ 5/k⁴
4.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: n = 11
كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.
الحدود لقيم n متزايدة
n = 10: 2,167 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 11: 2,709 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶
أصغر درجة
n = 11
الإجابة
n = 11
5.المصفوفات والمحددات
الإجابة: c21 = −42
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
صف في عمود
c21 = (−6)·5 + (−3)·4 = −42
الإجابة
c21 = −42
6.المصفوفات والمحددات
الإجابة: x = −5,455
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
محدد مصفوفة المعاملات
det A = 1·(−3) − (−4)·(−2) = −11
استبدل عمود x
det Aₓ = (−4)·(−3) − (−4)·12 = 60
x = 60/(−11) = −5,455
الإجابة
x = −5,455
y = −0,3636
7.المعادلات التفاضلية
الإجابة: T = 298,5 °C
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
حلّ قانون التبريد
T(t) = 24 + 356·e−0,02t
عوّض t
T(13) = 24 + 356·0,7711 = 298,5 °C
الإجابة
T = 298,5 °C
8.المعادلات التفاضلية
الإجابة: y(0.5) = 0,8308
المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.