الطرائق العددية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

المصفوفات والمحددات

محدد 2×2: det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
القيم الذاتية: det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر: x_i = det(A_i)/det(A)

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.الطرائق العدديةمتوسطة

تُقاس سرعة مركبة كل 5 s (جدول). قدّر المسافة s المقطوعة من t = 0 إلى t = 30 s بقاعدة شبه المنحرف.

h = 5 sn = 6

s = m

2.الطرائق العدديةصعبة

استخدم طريقة أويلر مع h = 0,2 للمسألة y′ = cos t − y، y(0) = 2 لتقدير y₃ ≈ y(0,6).

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,2

y₃ =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

جد المجموع S = Σ_k=1⁴⁰ 4/(k(k + 1)).

a_k = 4/(k(k + 1))n = 40

S =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = eˣ بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 5 عند x = 1,5. استخدم حد خطأ لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! مع M = e^1,5 = 4,482 لإيجاد أكبر خطأ ممكن |R₅|.

f(x) = eˣn = 5x = 1,5M = 4,482

|R₅| =

5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة

أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.

A = [5 −2 4; −1 −4 4; 2 −3 1]

det A =

6.المصفوفات والمحدداتصعبة

حُلّ النظام −x + y = 1 و −4x + 3y = −12. أوجد x.

−x + y = 1−4x + 3y = −12

x =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 26 °C. بعد 44 min تكون درجة حرارتها 156 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 98 °C؟

T₀ = 340 °CT_a = 26 °CT(44) = 156 °CT = 98 °C

t = min

8.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y′ + 0,5y = 3e^−3t مع y(0) = 2. أوجد y(2).

y′ + 0,5y = 3e^−3ty(0) = 2

y(2) =

3المحاليل

1.الطرائق العددية

الإجابة: s = 360 m

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

المجموع الموزون

9 + 2·9 + 2·8 + 2·12 + 2·13 + 2·17 + 17 = 144

قاعدة شبه المنحرف

s = (5/2)·144 = 360 m

الإجابة

s = 360 m

2.الطرائق العددية

الإجابة: y₃ = 1,493

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات أويلر

y₁ = 2 + 0,2·(−1) = 1,8

y₂ = 1,8 + 0,2·(−0,819933) = 1,636013

y₃ = 1,636013 + 0,2·(−0,714952) = 1,493023

الرسم البياني

y₃ = 1,493

الإجابة

y₃ = 1,493

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: S = 3,902

الكسور الجزئية

4/(k(k + 1)) = 4·(1/k − 1/(k + 1))

إلغاء

S = 4·(1 − 1/41) = 3,902

الإجابة

S = 3,902

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: |R₅| = 0,0709

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

حد المشتقة

M = e^1,5 = 4,482

حد لاغرانج

|R₅| ≤ 4,482·1,5⁶/6! = 0,0709

الإجابة

|R₅| = 0,0709

الخطأ الحقيقي أصغر: |f(1,5) − P₅(1,5)| = 0,01997.

5.المصفوفات والمحددات

الإجابة: det A = 66

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

مصغّرات 2×2 للصف الأول

M₁₁ = 8, M₁₂ = −9, M₁₃ = 11

النشر بالمعاملات المرافقة

det A = 5·8 − (−2)·(−9) + 4·11 = 66

الإجابة

det A = 66

6.المصفوفات والمحددات

الإجابة: x = 15

محدد مصفوفة المعاملات

det A = (−1)·3 − 1·(−4) = 1

استبدل عمود x

det Aₓ = 1·3 − 1·(−12) = 15

x = 15/1 = 15

الإجابة

x = 15

y = 16

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 73,48 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

ثابت التبريد

k = ln(314/130)/44 = 0,02004 min⁻¹

الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة

t = ln(314/72)/0,02004 = 73,48 min

الإجابة

t = 73,48 min

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(2) = 1,174

عامل التكامل

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 3e^−2,5t

الحل العام

y = 3/(−2,5)·e^−3t + C·e^−0,5t = −1,2·e^−3t + C·e^−0,5t

الشرط الابتدائي

2 = −1,2 + C → C = 3,2

احسب

y(2) = −1,2·0,002479 + 3,2·0,3679 = 1,174

الإجابة

y(2) = 1,174

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods