الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تحتاج طائرة إلى سرعة 180 km/h للإقلاع وطول المدرج المتاح 900 m. بدءًا من السكون، ما التسارع الثابت a الذي تحتاجه؟

v₀ = 0v = 180 km/hs = 900 m

a = m/s²

2.علم الحركةصعبة

تُسقَط الكرة A من السكون من ارتفاع 35 m. في اللحظة نفسها تُقذف الكرة B رأسيًا إلى الأعلى من الأرض تحتها مباشرةً بسرعة 26 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y فوق الأرض تلتقيان؟

H = 35 mv_0B = 26 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

كتلتان مقدارهما 5 kg و 2 kg معلّقتان على جانبي بكرة خفيفة عديمة الاحتكاك، موصولتان بخيط خفيف. يُترك النظام من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الكتلتين a.

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 6 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 2,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 6 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 36 m/s ويجب أن تهبط على بعد 90 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 36 m/sR = 90 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 26 m/s وبزاوية 50° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 40 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 26 m/sθ = 50°h = 40 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

كرة صغيرة مربوطة بخيط طوله 0,9 m تتحرّك في دائرة أفقية بحيث يصنع الخيط زاوية ثابتة 30° مع الرأسي (بندول مخروطي). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الكرة v.

L = 0,9 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,7 kg مربوطة بخيط طوله 0,7 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 6,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 0,7 kgr = 0,7 mv = 6,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

لقاذف ألعاب نابض رأسي صلابته 2000 N/m. توضع عليه كرة كتلتها 0,25 kg ويُضغط النابض بمقدار 5 cm ثم يُترك. بإهمال مقاومة الهواء وكتلة النابض، أوجد الارتفاع h الذي ترتفعه الكرة، مقيسًا من موضعها عندما كان النابض مضغوطًا.

m = 0,25 kgk = 2000 N/mx = 5 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 10 kg من السكون على ارتفاع 2 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 5 m (μ = 0,15) ثم يصطدم بنابض (k = 1000 N/m) على سطح أملس. أوجد سرعة v الجسم عندما يصل إلى النابض.

m = 10 kgh = 2 mL = 5 mμ = 0,15k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 1,5 kg يتحرك بسرعة 3 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,25 kg تصطدم بجدار بسرعة 15 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 4 m/s. يدوم التلامس 25 ms. أوجد مقدار الدفع J الذي يعطيه الجدار للكرة.

m = 0,25 kgv_in = 15 m/sv_out = 4 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 2,2 kg على نابض k = 40 N/m تُسحب 6 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد سرعتها v عند t = 0,75 s (مع الإشارة).

m = 2,2 kgk = 40 N/mA = 6 cmt = 0,75 s

v = m/s

14.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة على نابض k = 290 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 14 cm. أوجد الطاقة U المخزّنة في النابض عندما تكون الكتلة على بعد 3 cm من موضع الاتزان.

k = 290 N/mA = 14 cmx = 3 cm

U = J

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

ينتقل الضوء في زجاج الفلنت (n = 1,62) نحو حد فاصل مستوٍ مع ماء (n = 1,33). جد الزاوية الحرجة θ_c التي يُنعكس بعدها كليًا.

n₁ = 1,62n₂ = 1,33

θ_c = °

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

يُظهر محزوز فيه 500 خطًا لكل ميليمتر النهاية العظمى من الرتبة 3 لخط طيفي عند 52,9° عن اتجاه المرور المستقيم. جد الطول الموجي λ للخط.

N = 500 mm⁻¹θ₃ = 52,9°m = 3

λ = nm

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: a = 1,389 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

الوحدات

v = 180/3,6 = 50 m/s

التسارع

a = v²/(2s) = 50²/(2·900) = 1,389 m/s²

الإجابة

a = 1,389 m/s²

2.علم الحركة

الإجابة: y = 26,11 m

زمن الالتقاء

الاتجاه إلى الأعلى موجب، والأرض عند y = 0.

35 − ½g·t² = 26·t − ½g·t² → t = 35/26 = 1,346 s

ارتفاع الالتقاء

y = 26·1,346 − ½·9,81·1,346² = 26,11 m

الإجابة

y = 26,11 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,204 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

التسارع

القوة الدافعة المحصّلة هي الفرق بين الوزنين؛ وهي تحرّك الكتلة الكلية.

a = (5 − 2)·9,81/(5 + 2) = 4,204 m/s²

الإجابة

a = 4,204 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 0,8079 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 17,66)/8,5 = 0,8079 m/s²

الإجابة

a = 0,8079 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 21,47 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·90/36² = 0,6813

الزاوية

2θ = 42,94° → θ = 21,47°

الإجابة

θ = 21,47°

الحل الآخر 90° − θ = 68,53°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 60,22 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 26·sin 50° = 19,92 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 19,92²/(2·9,81) = 20,22 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 40 + 20,22 = 60,22 m

الإجابة

H = 60,22 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v = 1,596 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

نصف قطر الدائرة

r = L·sin θ = 0,9·sin 30° = 0,45 m

السرعة

الشدّ والجاذبية معًا يعطيان القوة المتجهة إلى الداخل: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,45·9,81·tan 30°) = 1,596 m/s

الإجابة

v = 1,596 m/s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 49,12 N

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,7·9,81 + 0,7·6,5²/0,7 = 6,867 + 42,25 = 49,12 N

الإجابة

T = 49,12 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: h = 1,019 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

طاقة النابض

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·2000·0,05² = 2,5 J

الارتفاع

m·g = 0,25·9,81 = 2,453 N

h = ½kx²/(mg) = 2,5/2,453 = 1,019 m

الإجابة

h = 1,019 m

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 4,952 m/s

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 98,1·(2 − 0,15·5) = 122,6 J

السرعة عند النابض

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,25) = 4,952 m/s

الإجابة

v = 4,952 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 1,5 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (1,5 − 4,5)/(1,5 + 4,5)·3 = −1,5 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 4,5)·3 = 1,5 m/s

الإجابة

v′₂ = 1,5 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: J = 4,75 N·s

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,25·(4 + 15) = 4,75 N·s

الإجابة

J = 4,75 N·s

13.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 0,01443 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(40/2,2) = 4,264 rad/s

ω·t = 4,264·0,75 = 3,198 rad

السرعة المتجهة

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,06·4,264·sin(3,198) = 0,01443 m/s

الإجابة

v = 0,01443 m/s

14.النوابض والبندولات

الإجابة: U = 0,1305 J

الطاقة الكلية

E = ½·k·A² = ½·290·0,14² = 2,842 J

طاقة النابض عند x

U = ½·k·x² = ½·290·0,03² = 0,1305 J

الإجابة

U = 0,1305 J

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: θ_c = 55,18 °

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

انكسار عند 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,33/1,62 = 0,821

الزاوية الحرجة

θc = arcsin(0,821) = 55,18°

الإجابة

θ_c = 55,18°

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: λ = 531,7 nm

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

الطول الموجي

λ = d·sin θ/m = 2 × 10⁻⁶·sin 52,9°/3 = 531,7 nm

الإجابة

λ = 531,7 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics