الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 72 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 6,5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 72 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 20 m/s من حافة سطح يرتفع 40 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 20 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

زلّاجة كتلتها 40 kg تُسحب على ثلج مستوٍ بحبل يميل 35° فوق الأفق بقوة 200 N. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الزلّاجة a.

m = 40 kgF = 200 Nθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 25° بسرعة 3,5 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 3,5 m/sθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 65° فوق الأفق وتهبط على بعد 145 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 65°R = 145 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 45° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 25 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 30 m/sθ = 45°h = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 85 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,7. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 85 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 2 kg مربوطة بخيط خفيف طوله 1,4 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة سرعتها 10,5 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T_top في الخيط عند أعلى نقطة.

m = 2 kgr = 1,4 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 5 kg مسافة 18 m على منحدر يميل بزاوية 40° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,15. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 5 kgθ = 40°μ = 0,15d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

عربة كتلتها 1 kg تُترك من السكون على ارتفاع 8,4 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 3 m. أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.

m = 1 kgh = 8,4 mR = 3 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 2 kg يتحرك بسرعة 5 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 1 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 2 kgm₂ = 1 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,55 kg تصطدم بجدار بسرعة 25 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 11 m/s. يدوم التلامس 5 ms. أوجد متوسط القوة F_avg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.

m = 0,55 kgv_in = 25 m/sv_out = 11 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 1,8 m زمنه الدوري 2,83 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 1,8 mT = 2,83 s

g = m/s²

14.النوابض والبندولاتصعبة

جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 1,5 s وسعة 16 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من موضع الاتزان إلى إزاحة 9,6 cm؟

T = 1,5 sA = 16 cmx = 9,6 cm

t = s

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

جسم ارتفاعه 1,5 cm يقف على بعد 15 cm أمام عدسة لامّة رقيقة بعدها البؤري 10 cm. جد ارتفاع الصورة h_i (سالب للصورة المقلوبة).

h_o = 1,5 cmd_o = 15 cmf = 10 cm

h_i = cm

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

لمحزوز حيود 800 خطًا لكل ميليمتر. يسقط عليه ضوء طوله الموجي 500 nm بزاوية قائمة. ما أعلى رتبة m_max لنهاية عظمى مضيئة يمكن رؤيتها؟

N = 800 mm⁻¹λ = 500 nm

m_max =

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 30,77 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·6,5) = 30,77 m

الإجابة

s = 30,77 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 5,547 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−40 = 20·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 20·t − 40 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (20 + √(20² + 2·9,81·40))/9,81 = 5,547 s

الإجابة

t = 5,547 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 2,013 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوة العمودية

N = m·g − F·sin θ = 392,4 − 200·sin 35° = 277,7 N

القوى الأفقية

m·a = F·cos θ − μ·N = 163,8 − 83,31

a = 80,52/40 = 2,013 m/s²

الإجابة

a = 2,013 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 1,034 m

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 25° + 0,2·cos 25°) = 5,924 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 3,5²/(2·5,924) = 1,034 m

الإجابة

d = 1,034 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 43,09 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·145/sin 130°) = 43,09 m/s

الإجابة

v₀ = 43,09 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 5,289 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 45° = 21,21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 45° = 21,21 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 25 + 21,21·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (21,21 + √(450 + 490,5))/9,81 = 5,289 s

الإجابة

t = 5,289 s

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 24,16 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·85) = 24,16 m/s

الإجابة

v_max = 24,16 m/s (86,98 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T_top = 59,4 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

السرعة عند القمة

تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع على ارتفاع 2r.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·1,4 = 55,31 m²/s²

القوى عند القمة

الشدّ والجاذبية كلاهما يتجهان إلى الأسفل، نحو المركز.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 2·55,31/1,4 − 2·9,81 = 59,4 N

الإجابة

T_top = 59,4 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 101,5 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 49,05·0,766 = 37,57 N

F = μN = 0,15·37,57 = 5,636 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 5,636·18 = 101,5 J

الإجابة

W_f = 101,5 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: N = 5,886 N

السرعة عند القمة

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(8,4 − 6) = 47,09 m²/s²

القوى عند القمة

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

N = mv²/R − mg = 1·47,09/3 − 9,81 = 5,886 N

الإجابة

N = 5,886 N

تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 6,667 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (2 − 1)/(2 + 1)·5 = 1,667 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1)·5 = 6,667 m/s

الإجابة

v′₂ = 6,667 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: F_avg = 3960 N

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,55·(11 + 25) = 19,8 N·s

متوسط القوة

F_avg = J/Δt = 19,8/0,005 = 3960 N

الإجابة

F_avg = 3960 N

13.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 8,873 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,8/2,83² = 8,873 m/s²

الإجابة

g = 8,873 m/s²

14.النوابض والبندولات

الإجابة: t = 0,1536 s

التردد الزاوي

ω = 2π/T = 2π/1,5 = 4,189 rad/s

حلّ لإيجاد الزمن

0,6 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,6) = 0,6435 rad

t = 0,6435/4,189 = 0,1536 s

الإجابة

t = 0,1536 s

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: h_i = −3 cm

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

معادلة العدسة الرقيقة

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/15

d_i = 30 cm

التكبير والارتفاع

m = −30/15 = −2

h_i = −2·1,5 = −3 cm

الإجابة

h_i = −3 cm

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: m_max = 2

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

تباعد الخطوط

d = 1/800 mm = 1,25 µm

أعلى رتبة

m ≤ d/λ = 1,25 µm/0,5 µm = 2,5 → m_max = 2

الإجابة

m_max = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics