الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 72 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 3 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 72 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

يبدأ ترام من السكون ويتسارع بمقدار 2 m/s² لمدة 9 s، ثم يسير بسرعة ثابتة لمدة 23 s، وأخيرًا يكبح بمقدار 5 m/s² حتى يتوقّف. أوجد زمن الرحلة الكلي t.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 9 st₂ = 23 sa₃ = −5 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

صندوق كتلته 15 kg يُدفع إلى أعلى منحدر يميل 20° عن الأفق بسرعة ثابتة، بقوة موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الدفع F.

m = 15 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 2 kg على منحدر يميل 20° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 3,5 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 2 kgm₂ = 3,5 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 40 m/s ويجب أن تهبط على بعد 150 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 40 m/sR = 150 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 23 m/s وبزاوية 35° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 5 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 23 m/sθ = 35°h_roof = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

في لعبة الدوّار بمدينة الملاهي يقف الراكبون مستندين إلى جدار أسطوانة رأسية نصف قطرها 3,7 m. عندما تدور بسرعة كافية تنخفض الأرضية ويثبّتهم الاحتكاك. معامل الاحتكاك السكوني 0,6. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر سرعة زاوية ω بوحدة rad/s.

r = 3,7 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1,7 kg مربوطة بخيط طوله 0,6 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 5,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 1,7 kgr = 0,6 mv = 5,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 5 kg مسافة 19 m على منحدر يميل بزاوية 30° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,4. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 5 kgθ = 30°μ = 0,4d = 19 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 1 kg من السكون على ارتفاع 2,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 1,5 m (μ = 0,3) ثم يصطدم بنابض (k = 800 N/m) على سطح أملس. أوجد سرعة v الجسم عندما يصل إلى النابض.

m = 1 kgh = 2,5 mL = 1,5 mμ = 0,3k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

تُطلق رصاصة كتلتها 5 g أفقيًا في كتلة خشبية مقدارها 4 kg معلّقة بخيوط خفيفة، وتستقر داخلها. تتأرجح الكتلة إلى الأعلى حتى تصبح أعلى بمقدار 12 cm من البداية. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 5 gM = 4 kgh = 12 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,45 kg تصطدم بجدار بسرعة 19 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 10 m/s. يدوم التلامس 40 ms. أوجد مقدار الدفع J الذي يعطيه الجدار للكرة.

m = 0,45 kgv_in = 19 m/sv_out = 10 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 1,7 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 1,7 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 3,5 kg على نابض k = 100 N/m تُسحب 5 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى سرعة لها v_max.

m = 3,5 kgk = 100 N/mA = 5 cm

v_max = m/s

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

يقف جسم على بعد 50 cm أمام عدسة مفرِّقة رقيقة بعدها البؤري 25 cm. جد بعد الصورة d_i. استخدم اصطلاح الإشارات 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 لعدسة مفرِّقة، d_i < 0 لصورة وهمية).

d_o = 50 cmf = −25 cm

d_i = cm

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

يسقط ضوء طوله الموجي 405 nm بزاوية قائمة على محزوز فيه 300 خطًا لكل ميليمتر. جد زاوية θ₂ النهاية العظمى من الرتبة 2.

N = 300 mm⁻¹λ = 405 nmm = 2

θ₂ = °

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 66,67 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3) = 66,67 m

الإجابة

s = 66,67 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 35,6 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

السرعة القصوى

v = a₁·t₁ = 2·9 = 18 m/s

زمن الكبح

t₃ = v/a₃ = 18/5 = 3,6 s

الزمن الكلي

t = 9 + 23 + 3,6 = 35,6 s

الإجابة

t = 35,6 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: F = 64,16 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوى على امتداد المنحدر

سرعة ثابتة: القوى متوازنة.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

قوة الدفع

F = 50,33 + 13,83 = 64,16 N

الإجابة

F = 64,16 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,52 m/s²

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 34,34 N

m₁·g·sin θ = 6,71 N

μ·m₁·g·cos θ = 2,766 N

تسارع النظام

a = (34,34 − 6,71 − 2,766)/5,5 = 4,52 m/s²

الإجابة

a = 4,52 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 33,44 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·150/40² = 0,9197

الزاوية

2θ = 66,88° → θ = 33,44°

الإجابة

θ = 33,44°

الحل الآخر 90° − θ = 56,56°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 42,07 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 18,84 m/s, v_y = 13,19 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

5 = 13,19·t − 4,905·t²

t = (13,19 + √(13,19² − 2·9,81·5))/9,81 = 2,233 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 18,84·2,233 = 42,07 m

الإجابة

x = 42,07 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: ω = 2,102 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوى على الراكب

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

السرعة الزاوية

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·3,7)) = 2,102 rad/s

الإجابة

ω = 2,102 rad/s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 102,4 N

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,7·9,81 + 1,7·5,5²/0,6 = 16,68 + 85,71 = 102,4 N

الإجابة

T = 102,4 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 322,8 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 49,05·0,866 = 42,48 N

F = μN = 0,4·42,48 = 16,99 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 16,99·19 = 322,8 J

الإجابة

W_f = 322,8 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 6,342 m/s

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 9,81·(2,5 − 0,3·1,5) = 20,11 J

السرعة عند النابض

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,05) = 6,342 m/s

الإجابة

v = 6,342 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 1229 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

التأرجح بعد الاصطدام

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,12) = 1,534 m/s

تصادم

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 4)·1,534/0,005 = 1229 m/s

الإجابة

v = 1229 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: J = 13,05 N·s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,45·(10 + 19) = 13,05 N·s

الإجابة

J = 13,05 N·s

13.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 2,616 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(1,7/9,81) = 2,616 s

الإجابة

T = 2,616 s

14.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 0,2673 m/s

التردد الزاوي

ω = √(100/3,5) = 5,345 rad/s

أقصى سرعة

v_max = A·ω = 0,05·5,345 = 0,2673 m/s

الإجابة

v_max = 0,2673 m/s

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: d_i = −16,67 cm

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

معادلة العدسة الرقيقة

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/50

d_i = −16,67 cm

مخطط الأشعة

وهمية، في جهة الجسم نفسها

الإجابة

d_i = −16,67 cm

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: θ₂ = 14,06 °

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

تباعد الخطوط

d = 1/300 mm = 3,333 × 10⁻⁶ m

معادلة المحزوز

sin θ = mλ/d = 2·405 × 10⁻⁹/(3,333 × 10⁻⁶) = 0,243

θ = 14,06°

الإجابة

θ₂ = 14,06°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics