الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة مسرعة بسرعة ثابتة 23 m/s تمرّ بسيارة شرطة متوقّفة. في تلك اللحظة تنطلق سيارة الشرطة وتتسارع بانتظام بمقدار 3,5 m/s². على أيّ بعد من نقطة انطلاقها تلحق سيارة الشرطة بها؟ أوجد d.

v_car = 23 m/sa_police = 3,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 5 m/s من حافة سطح يرتفع 35 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 5 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

زلّاجة كتلتها 40 kg تُسحب على ثلج مستوٍ بحبل يميل 20° فوق الأفق بقوة 100 N. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الزلّاجة a.

m = 40 kgF = 100 Nθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 5,5 kg على منحدر يميل 35° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 5 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 5 kgθ = 35°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 22 m/s ويجب أن تهبط على بعد 45 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 22 m/sR = 45 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 25° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 60 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 13 m/sθ = 25°h = 60 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

منعطف نصف قطره 380 m مائل بزاوية 12°. بأيّ سرعة v يمكن لسيارة أن تسلكه دون أي حاجة إلى الاحتكاك؟ استخدم g = 9,81 m/s².

r = 380 mθ = 12°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة مربوطة بخيط طوله 1,1 m تُدار في دائرة رأسية. استخدم g = 9,81 m/s². ما أصغر سرعة v_min عند القمة يبقى عندها الخيط مشدودًا بالكاد؟

r = 1,1 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

لقاذف ألعاب نابض رأسي صلابته 1000 N/m. توضع عليه كرة كتلتها 0,15 kg ويُضغط النابض بمقدار 6 cm ثم يُترك. بإهمال مقاومة الهواء وكتلة النابض، أوجد الارتفاع h الذي ترتفعه الكرة، مقيسًا من موضعها عندما كان النابض مضغوطًا.

m = 0,15 kgk = 1000 N/mx = 6 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 2 kg من السكون على ارتفاع 3 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 2,5 m (μ = 0,2) ثم يصطدم بنابض (k = 1000 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 2 kgh = 3 mL = 2,5 mμ = 0,2k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 2 kg يتحرك بسرعة 9 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 1900 kg تسير شرقًا بسرعة 10 m/s بسيارة كتلتها 1800 kg تسير شمالًا بسرعة 12 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد سرعة الحطام v′ مباشرةً بعد التصادم.

m₁ = 1900 kgv₁ = 10 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 12 m/s (N)

v′ = m/s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 1,6 m زمنه الدوري 6,24 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 1,6 mT = 6,24 s

g = m/s²

14.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 0,5 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 280 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر استطالة x_max للنابض بوحدة cm.

m = 0,5 kgk = 280 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

ينتقل الضوء في زجاج الفلنت (n = 1,62) نحو حد فاصل مستوٍ مع الإيثانول (n = 1,36). جد الزاوية الحرجة θ_c التي يُنعكس بعدها كليًا.

n₁ = 1,62n₂ = 1,36

θ_c = °

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

يمر ضوء طوله الموجي 450 nm عبر شق مفرد عرضه 0,08 mm. جد زاوية θ₂ الهدب المظلم رقم 2 عن اتجاه المرور المستقيم.

λ = 450 nma = 0,08 mmm = 2

θ₂ = °

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 302,3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

تساوي المسافتين

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·23/3,5 = 13,14 s

المسافة

d = v·t = 23·13,14 = 302,3 m

الإجابة

d = 302,3 m

في تلك اللحظة تتحرّك سيارة الشرطة بسرعة 2v = 46 m/s.

2.علم الحركة

الإجابة: t = 3,229 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−35 = 5·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 5·t − 35 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (5 + √(5² + 2·9,81·35))/9,81 = 3,229 s

الإجابة

t = 3,229 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 0,5582 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوة العمودية

N = m·g − F·sin θ = 392,4 − 100·sin 20° = 358,2 N

القوى الأفقية

m·a = F·cos θ − μ·N = 93,97 − 71,64

a = 22,33/40 = 0,5582 m/s²

الإجابة

a = 0,5582 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 43,59 N

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 49,05 N

m₁·g·sin θ = 30,95 N

μ·m₁·g·cos θ = 6,63 N

تسارع النظام

a = (49,05 − 30,95 − 6,63)/10,5 = 1,093 m/s²

الشدّ من الكتلة المعلّقة

m₂·g − T = m₂·a → T = 5·(9,81 − 1,093) = 43,59 N

الإجابة

T = 43,59 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 32,9 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·45/22² = 0,9121

الزاوية

2θ = 65,8° → θ = 32,9°

الإجابة

θ = 32,9°

الحل الآخر 90° − θ = 57,1°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 4,102 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 25° = 11,78 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 25° = 5,494 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 60 + 5,494·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5,494 + √(30,18 + 1177))/9,81 = 4,102 s

الإجابة

t = 4,102 s

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v = 28,15 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

موازنة القوى

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

السرعة

v = √(r·g·tan θ) = √(380·9,81·tan 12°) = 28,15 m/s

الإجابة

v = 28,15 m/s

(101,3 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 3,285 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

قوة الشد صفر عند القمة

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,1) = 3,285 m/s

الإجابة

v_min = 3,285 m/s

9.الشغل والطاقة

الإجابة: h = 1,223 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

طاقة النابض

x = 6 cm = 0,06 m

½kx² = ½·1000·0,06² = 1,8 J

الارتفاع

m·g = 0,15·9,81 = 1,472 N

h = ½kx²/(mg) = 1,8/1,472 = 1,223 m

الإجابة

h = 1,223 m

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 31,32 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 19,62·(3 − 0,2·2,5) = 49,05 J

أقصى انضغاط

½kx² = 49,05 → x = √(2·49,05/1000) = 0,3132 m = 31,32 cm

الإجابة

x = 31,32 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = −3,857 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (2 − 5)/(2 + 5)·9 = −3,857 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 5)·9 = 5,143 m/s

الإجابة

v′₁ = −3,857 m/s

الإشارة السالبة تعني أن المنزلق الأول يرتد إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′ = 7,775 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

مركّبات كمية الحركة

p_x = 1900·10 = 19000 kg·m/s

p_y = 1800·12 = 21600 kg·m/s

سرعة الحطام

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 28767/3700 = 7,775 m/s

الإجابة

v′ = 7,775 m/s

13.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 1,622 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,6/6,24² = 1,622 m/s²

الإجابة

g = 1,622 m/s²

14.النوابض والبندولات

الإجابة: x_max = 3,504 cm

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 0,5·9,81/280 = 0,01752 m = A

أدنى نقطة

x_max = 2A = 0,03504 m = 3,504 cm

الإجابة

x_max = 3,504 cm

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: θ_c = 57,09 °

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

انكسار عند 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,36/1,62 = 0,8395

الزاوية الحرجة

θc = arcsin(0,8395) = 57,09°

الإجابة

θ_c = 57,09°

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: θ₂ = 0,6446 °

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

شرط الهدب المظلم

sin θ = mλ/a = 0,01125

θ = 0,6446°

الإجابة

θ₂ = 0,6446°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics