الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تحتاج طائرة إلى سرعة 300 km/h للإقلاع وطول المدرج المتاح 1500 m. بدءًا من السكون، ما التسارع الثابت a الذي تحتاجه؟

v₀ = 0v = 300 km/hs = 1500 m

a = m/s²

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 6 m/s من حافة سطح يرتفع 30 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max فوق الأرض.

v₀ = 6 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

صندوق كتلته 50 kg يُدفع إلى أعلى منحدر يميل 25° عن الأفق بسرعة ثابتة، بقوة موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الدفع F.

m = 50 kgθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

F = N

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 1,5 kg على منحدر يميل 30° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 8,5 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 8,5 kgθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 35° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 16 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

t = s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 50° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 55 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 13 m/sθ = 50°h = 55 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

في لعبة الدوّار بمدينة الملاهي يقف الراكبون مستندين إلى جدار أسطوانة رأسية نصف قطرها 2,2 m. عندما تدور بسرعة كافية تنخفض الأرضية ويثبّتهم الاحتكاك. معامل الاحتكاك السكوني 0,6. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر معدّل دوران n بالدورات في الدقيقة.

r = 2,2 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,3 kg مربوطة بخيط طوله 1 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 8 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 0,3 kgr = 1 mv = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

لقاذف ألعاب نابض رأسي صلابته 2000 N/m. توضع عليه كرة كتلتها 0,2 kg ويُضغط النابض بمقدار 6 cm ثم يُترك. بإهمال مقاومة الهواء وكتلة النابض، أوجد الارتفاع h الذي ترتفعه الكرة، مقيسًا من موضعها عندما كان النابض مضغوطًا.

m = 0,2 kgk = 2000 N/mx = 6 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.الشغل والطاقةصعبة

جسم كتلته 10 kg يستقر على طاولة أفقية خشنة (μ = 0,25). يمتدّ منه خيط خفيف فوق بكرة ملساء عند حافة الطاولة إلى جسم معلّق كتلته 4 kg. يُترك النظام من السكون. أوجد سرعة الجسمين v بعد أن يهبط الجسم المعلّق 0,5 m.

m₁ = 10 kgm₂ = 4 kgμ = 0,25d = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 4,5 kg يتحرك بسرعة 6 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 3 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 2000 kg تسير شرقًا بسرعة 25 m/s بسيارة كتلتها 1900 kg تسير شمالًا بسرعة 24 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد سرعة الحطام v′ مباشرةً بعد التصادم.

m₁ = 2000 kgv₁ = 25 m/s (E)m₂ = 1900 kgv₂ = 24 m/s (N)

v′ = m/s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 1,7 kg على نابض k = 330 N/m تُسحب 14 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد إزاحتها x عن موضع الاتزان عند t = 0,35 s (مع الإشارة).

m = 1,7 kgk = 330 N/mA = 14 cmt = 0,35 s

x = cm

14.النوابض والبندولاتصعبة

جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 2,2 s وسعة 7 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من موضع الاتزان إلى إزاحة 3,5 cm؟

T = 2,2 sA = 7 cmx = 3,5 cm

t = s

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

يقف جسم على بعد 50 cm أمام عدسة لامّة رقيقة بعدها البؤري 15 cm. جد بعد الصورة d_i. استخدم اصطلاح الإشارات 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 لعدسة مفرِّقة، d_i < 0 لصورة وهمية).

d_o = 50 cmf = 15 cm

d_i = cm

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

يُظهر محزوز فيه 1200 خطًا لكل ميليمتر النهاية العظمى من الرتبة 1 لخط طيفي عند 39,7° عن اتجاه المرور المستقيم. جد الطول الموجي λ للخط.

N = 1200 mm⁻¹θ₁ = 39,7°m = 1

λ = nm

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: a = 2,315 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

الوحدات

v = 300/3,6 = 83,33 m/s

التسارع

a = v²/(2s) = 83,33²/(2·1500) = 2,315 m/s²

الإجابة

a = 2,315 m/s²

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 31,83 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الارتفاع فوق السطح

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9,81) = 1,835 m

الارتفاع فوق الأرض

h_max = 30 + 1,835 = 31,83 m

الإجابة

h_max = 31,83 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: F = 318,4 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوى على امتداد المنحدر

سرعة ثابتة: القوى متوازنة.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

قوة الدفع

F = 207,3 + 111,1 = 318,4 N

الإجابة

F = 318,4 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 7,284 m/s²

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 83,39 N

m₁·g·sin θ = 7,357 N

μ·m₁·g·cos θ = 3,186 N

تسارع النظام

a = (83,39 − 7,357 − 3,186)/10 = 7,284 m/s²

الإجابة

a = 7,284 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 1,871 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 35° = 13,11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 35° = 9,177 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·9,177/9,81 = 1,871 s

الإجابة

t = 1,871 s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 37,72 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 50° = 8,356 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 50° = 9,959 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 55 + 9,959·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,959 + √(99,17 + 1079))/9,81 = 4,514 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 8,356·4,514 = 37,72 m

الإجابة

x = 37,72 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: n = 26,03 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوى على الراكب

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

السرعة الزاوية

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·2,2)) = 2,726 rad/s

معدّل الدوران

n = ω·60/(2π) = 26,03 rpm

الإجابة

n = 26,03 rpm

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 22,14 N

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,3·9,81 + 0,3·8²/1 = 2,943 + 19,2 = 22,14 N

الإجابة

T = 22,14 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: h = 1,835 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

طاقة النابض

x = 6 cm = 0,06 m

½kx² = ½·2000·0,06² = 3,6 J

الارتفاع

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

h = ½kx²/(mg) = 3,6/1,962 = 1,835 m

الإجابة

h = 1,835 m

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 1,025 m/s

الطاقة المحرَّرة والمفقودة

m₂g·d = 39,24·0,5 = 19,62 J

μ·m₁g·d = 0,25·98,1·0,5 = 12,26 J

الطاقة الحركية للجسمين

½(m₁ + m₂)v² = 7,357 → v = √(2·7,357/14) = 1,025 m/s

الإجابة

v = 1,025 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 7,2 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (4,5 − 3)/(4,5 + 3)·6 = 1,2 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 3)·6 = 7,2 m/s

الإجابة

v′₂ = 7,2 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′ = 17,35 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

مركّبات كمية الحركة

p_x = 2000·25 = 50000 kg·m/s

p_y = 1900·24 = 45600 kg·m/s

سرعة الحطام

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 67671/3900 = 17,35 m/s

الإجابة

v′ = 17,35 m/s

13.النوابض والبندولات

الإجابة: x = 2,286 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(330/1,7) = 13,93 rad/s

ω·t = 13,93·0,35 = 4,876 rad

الإزاحة

x = A·cos(ω·t) = 14·cos(4,876) = 2,286 cm

الإجابة

x = 2,286 cm

14.النوابض والبندولات

الإجابة: t = 0,1833 s

التردد الزاوي

ω = 2π/T = 2π/2,2 = 2,856 rad/s

حلّ لإيجاد الزمن

0,5 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,5) = 0,5236 rad

t = 0,5236/2,856 = 0,1833 s

الإجابة

t = 0,1833 s

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: d_i = 21,43 cm

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

معادلة العدسة الرقيقة

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/50

d_i = 21,43 cm

مخطط الأشعة

حقيقية، في الجانب البعيد من العدسة

الإجابة

d_i = 21,43 cm

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: λ = 532,3 nm

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

الطول الموجي

λ = d·sin θ/m = 8,333 × 10⁻⁷·sin 39,7°/1 = 532,3 nm

الإجابة

λ = 532,3 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics