الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 120 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 3,5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 120 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 5 m/s من حافة سطح يرتفع 15 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 5 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق صندوق على أرضية مستوية بسرعة ابتدائية 11 m/s ويتوقّف بعد 21 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معامل الاحتكاك الحركي μ.

v₀ = 11 m/sd = 21 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 15° بسرعة 4 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 4 m/sθ = 15°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُركل كرة من أرض مستوية بسرعة 28 m/s وبزاوية 20° فوق الأفق نحو جدار على بعد 10 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y تمرّ الكرة بالجدار؟

v₀ = 28 m/sθ = 20°x = 10 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 40° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 45 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 22 m/sθ = 40°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

كرة صغيرة مربوطة بخيط طوله 1,6 m تتحرّك في دائرة أفقية بحيث يصنع الخيط زاوية ثابتة 30° مع الرأسي (بندول مخروطي). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الزمن T لدورة واحدة.

L = 1,6 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = s

8.الحركة الدائريةصعبة

عربة كتلتها 1 kg تُترك من السكون على ارتفاع 33,75 m على مسار عديم الاحتكاك وتمرّ بحلقة رأسية نصف قطرها 7,5 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N_top التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.

m = 1 kgh = 33,75 mR = 7,5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 100 km/h على طريق مستوٍ تكبح بقوة وتنزلق حتى تتوقّف وعجلاتها مقفلة. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,5. أوجد مسافة التوقّف d.

v = 100 km/hμ = 0,5g = 9,81 m/s²

d = m

10.الشغل والطاقةصعبة

عربة كتلتها 10 kg تُترك من السكون على ارتفاع 20 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 5 m. أوجد سرعة العربة v عند قمة الحلقة.

m = 10 kgh = 20 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 4,5 kg يتحرك بسرعة 2 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 1,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 4,5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,1 kg تصطدم بجدار بسرعة 26 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 8 m/s. يدوم التلامس 20 ms. أوجد متوسط القوة F_avg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.

m = 0,1 kgv_in = 26 m/sv_out = 8 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 1,6 kg على نابض k = 350 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 20 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 3 cm من موضع الاتزان.

m = 1,6 kgk = 350 N/mA = 20 cmx = 3 cm

v = m/s

14.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 1,1 kg على نابض k = 230 N/m تُسحب 9 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى تسارع لها a_max.

m = 1,1 kgk = 230 N/mA = 9 cm

a_max = m/s²

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

جسم ارتفاعه 1,5 cm يقف على بعد 4 cm أمام عدسة لامّة رقيقة بعدها البؤري 10 cm. جد ارتفاع الصورة h_i (سالب للصورة المقلوبة).

h_o = 1,5 cmd_o = 4 cmf = 10 cm

h_i = cm

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

ليف ضوئي له قلب بـ n₁ = 1,5 وغلاف بـ n₂ = 1,47. جد أكبر زاوية θ_a مع محور الليف يمكن أن يدخل عندها الضوء القادم من الهواء طرف الليف ويظل موجَّهًا بالانعكاس الداخلي الكلي.

n₁ = 1,5n₂ = 1,47n₀ = 1,00

θ_a = °

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 158,7 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·3,5) = 158,7 m

الإجابة

s = 158,7 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 2,331 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−15 = 5·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 5·t − 15 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (5 + √(5² + 2·9,81·15))/9,81 = 2,331 s

الإجابة

t = 2,331 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: μ = 0,2937

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

التباطؤ

a = v₀²/(2d) = 11²/(2·21) = 2,881 m/s²

معامل الاحتكاك

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,881/9,81 = 0,2937

الإجابة

μ = 0,2937

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 1,804 m

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 15° + 0,2·cos 15°) = 4,434 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 4²/(2·4,434) = 1,804 m

الإجابة

d = 1,804 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: y = 2,931 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

الزمن حتى الجدار

v_x = 28·cos 20° = 26,31 m/s

t = x/v_x = 10/26,31 = 0,3801 s

الارتفاع في تلك اللحظة

y = 9,577·0,3801 − ½·9,81·0,3801² = 2,931 m

الإجابة

y = 2,931 m

الكرة لا تزال ترتفع عند الجدار.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 80,83 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 40° = 16,85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 40° = 14,14 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 45 + 14,14·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14,14 + √(200 + 882,9))/9,81 = 4,796 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 16,85·4,796 = 80,83 m

الإجابة

x = 80,83 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 2,361 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

نصف قطر الدائرة

r = L·sin θ = 1,6·sin 30° = 0,8 m

السرعة

الشدّ والجاذبية معًا يعطيان القوة المتجهة إلى الداخل: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,8·9,81·tan 30°) = 2,129 m/s

الزمن الدوري

T = 2π·r/v = 2π·0,8/2,129 = 2,361 s

الإجابة

T = 2,361 s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: N_top = 39,24 N

السرعة من حفظ الطاقة

v² = 2·9,81·(33,75 − 2·7,5) = 367,9 m²/s²

القوى

الاتجاه نحو المركز موجب.

N = m·v²/R − m·g = 1·367,9/7,5 − 9,81 = 39,24 N

الإجابة

N_top = 39,24 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 78,65 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

السرعة بالوحدات الأساسية

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

موازنة الطاقة

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27,78²/(2·0,5·9,81) = 78,65 m

الإجابة

d = 78,65 m

مضاعفة السرعة تجعل مسافة التوقّف أطول بأربع مرات.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 14,01 m/s

السرعة عند القمة

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(20 − 10) = 196,2 m²/s²

v = 14,01 m/s

الإجابة

v = 14,01 m/s

تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = 1 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (4,5 − 1,5)/(4,5 + 1,5)·2 = 1 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 1,5)·2 = 3 m/s

الإجابة

v′₁ = 1 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: F_avg = 170 N

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,1·(8 + 26) = 3,4 N·s

متوسط القوة

F_avg = J/Δt = 3,4/0,02 = 170 N

الإجابة

F_avg = 170 N

13.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 2,925 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(350/1,6) = 14,79 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 14,79·√(0,2² − 0,03²) = 2,925 m/s

الإجابة

v = 2,925 m/s

14.النوابض والبندولات

الإجابة: a_max = 18,82 m/s²

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(230/1,1) = 14,46 rad/s

أقصى تسارع

a_max = A·ω² = 0,09·14,46² = 18,82 m/s²

الإجابة

a_max = 18,82 m/s²

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: h_i = 2,5 cm

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

معادلة العدسة الرقيقة

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/4

d_i = −6,667 cm

التكبير والارتفاع

m = −(−6,667)/4 = 1,667

h_i = 1,667·1,5 = 2,5 cm

الإجابة

h_i = 2,5 cm

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: θ_a = 17,37 °

الزاوية الحرجة عند الغلاف

sin θc = 1,47/1,5 = 0,98 → θc = 78,52°

الفتحة العددية

NA = √(1,5² − 1,47²) = 0,2985

زاوية القبول

θ_a = arcsin(0,2985) = 17,37°

الإجابة

θ_a = 17,37°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics