الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سائقة تسير بسرعة 108 km/h ترى عائقًا. زمن ردّ فعلها 1,2 s، تكبح السيارة بعده بتباطؤ ثابت 5 m/s². أوجد مسافة التوقّف الكلية d من لحظة رؤيتها العائق.

v₀ = 108 km/ht_r = 1,2 sa = −5 m/s²

d = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 8 m/s من حافة سطح يرتفع 5 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 8 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

زلّاجة كتلتها 35 kg تُسحب على ثلج مستوٍ بحبل يميل 25° فوق الأفق بقوة 200 N. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الزلّاجة a.

m = 35 kgF = 200 Nθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 10 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 4,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 10 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 20 m/s ويجب أن تهبط على بعد 35 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 20 m/sR = 35 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 15° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 35 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 32 m/sθ = 15°h = 35 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

في لعبة الدوّار بمدينة الملاهي يقف الراكبون مستندين إلى جدار أسطوانة رأسية نصف قطرها 1,7 m. عندما تدور بسرعة كافية تنخفض الأرضية ويثبّتهم الاحتكاك. معامل الاحتكاك السكوني 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر معدّل دوران n بالدورات في الدقيقة.

r = 1,7 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.الحركة الدائريةصعبة

عربة كتلتها 1 kg تُترك من السكون على ارتفاع 27,9 m على مسار عديم الاحتكاك وتمرّ بحلقة رأسية نصف قطرها 9 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N_bottom التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قاع الحلقة.

m = 1 kgh = 27,9 mR = 9 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 20° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 12 m على المنحدر.

θ = 20°μ = 0,15d = 12 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

جسم كتلته 20 kg يبدأ من السكون عند أسفل منحدر بزاوية 30° ويُسحب إلى أعلى المنحدر بقوة ثابتة 215 N موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. أوجد سرعة الجسم v بعد أن يتحرّك 7 m إلى أعلى المنحدر.

m = 20 kgF = 215 Nθ = 30°μ = 0,2d = 7 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 3,5 kg يتحرك بسرعة 4 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 15 g أفقيًا في كتلة مقدارها 3,5 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 0,5 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 30° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 15 gM = 3,5 kgL = 0,5 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 0,9 m زمنه الدوري 2 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 0,9 mT = 2 s

g = m/s²

14.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة على نابض k = 400 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 11 cm. أوجد طاقتها الحركية K عندما تكون على بعد 9 cm من موضع الاتزان.

k = 400 N/mA = 11 cmx = 9 cm

K = J

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

أنبوب مغلق من طرف واحد طوله 0,6 m. سرعة الصوت 343 m/s. جد التردد f₃ عند التوافقية رقم 3.

v = 343 m/sn = 3L = 0,6 m

f₃ = Hz

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

يمر ضوء طوله الموجي 550 nm عبر شق مفرد عرضه 0,2 mm. جد زاوية θ₂ الهدب المظلم رقم 2 عن اتجاه المرور المستقيم.

λ = 550 nma = 0,2 mmm = 2

θ₂ = °

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 126 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

الوحدات

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

مسافة ردّ الفعل

d₁ = v₀·t_r = 30·1,2 = 36 m

مسافة الكبح

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·5) = 90 m

المجموع

d = 36 + 90 = 126 m

الإجابة

d = 126 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 2,113 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−5 = 8·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 8·t − 5 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (8 + √(8² + 2·9,81·5))/9,81 = 2,113 s

الإجابة

t = 2,113 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 3,33 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوة العمودية

N = m·g − F·sin θ = 343,4 − 200·sin 25° = 258,8 N

القوى الأفقية

m·a = F·cos θ − μ·N = 181,3 − 64,71

a = 116,6/35 = 3,33 m/s²

الإجابة

a = 3,33 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 2,368 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 9,81)/14,5 = 2,368 m/s²

الإجابة

a = 2,368 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 29,57 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·35/20² = 0,8584

الزاوية

2θ = 59,13° → θ = 29,57°

الإجابة

θ = 29,57°

الحل الآخر 90° − θ = 60,43°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 112,7 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 15° = 30,91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 15° = 8,282 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 35 + 8,282·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,282 + √(68,59 + 686,7))/9,81 = 3,646 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 30,91·3,646 = 112,7 m

الإجابة

x = 112,7 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: n = 32,44 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوى على الراكب

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

السرعة الزاوية

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,5·1,7)) = 3,397 rad/s

معدّل الدوران

n = ω·60/(2π) = 32,44 rpm

الإجابة

n = 32,44 rpm

8.الحركة الدائرية

الإجابة: N_bottom = 70,63 N

السرعة من حفظ الطاقة

v² = 2·9,81·27,9 = 547,4 m²/s²

القوى

الاتجاه نحو المركز موجب.

N = m·v²/R + m·g = 1·547,4/9 + 9,81 = 70,63 N

الإجابة

N_bottom = 70,63 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 6,88 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·12·(0,342 − 0,15·0,9397)) = 6,88 m/s

الإجابة

v = 6,88 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 7,619 m/s

القوى على امتداد المنحدر

m·g = 20·9,81 = 196,2 N

mg·sin θ = 98,1 N

μ·mg·cos θ = 33,98 N

الشغل والطاقة

½mv² = (215 − 132,1)·7 = 580,4 J

v = √(2·580,4/20) = 7,619 m/s

الإجابة

v = 7,619 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 3,5 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (3,5 − 4,5)/(3,5 + 4,5)·4 = −0,5 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 4,5)·4 = 3,5 m/s

الإجابة

v′₂ = 3,5 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 268,6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 0,5·(1 − cos 30°) = 0,06699 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,06699) = 1,146 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 3,515·1,146/0,015 = 268,6 m/s

الإجابة

v = 268,6 m/s

13.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 8,883 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,9/2² = 8,883 m/s²

الإجابة

g = 8,883 m/s²

14.النوابض والبندولات

الإجابة: K = 0,8 J

الطاقة الكلية

E = ½·k·A² = ½·400·0,11² = 2,42 J

طاقة النابض عند x

U = ½·k·x² = ½·400·0,09² = 1,62 J

الطاقة الحركية

K = 2,42 − 1,62 = 0,8 J

الإجابة

K = 0,8 J

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: f₃ = 428,8 Hz

الموجات الموقوفة وأثر دوبلر: الوتر المثبت من الطرفين، أو الأنبوب المفتوح من الطرفين، يتسع لأنصاف أطوال موجية كاملة: L = nλ/2، f_n = n·v/(2L)، n = 1, 2, 3, … للأنبوب المغلق من طرف واحد عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح: L = nλ/4 مع n فردي فقط، f_n = n·v/(4L). عندما يتحرك المصدر أو المراقب على الخط الواصل بينهما، f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): استخدم الإشارات العليا للحركة الواحد نحو الآخر. موجتان متقاربتا التردد تُحدثان ضربات بتردد |f₁ − f₂|.

الطول الموجي لهذا النمط

λ = 4L/n = 4·0,6/3 = 0,8 m

التردد

f = v/λ = 343/0,8 = 428,8 Hz

الإجابة

f₃ = 428,8 Hz

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: θ₂ = 0,3151 °

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

شرط الهدب المظلم

sin θ = mλ/a = 0,0055

θ = 0,3151°

الإجابة

θ₂ = 0,3151°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics