الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سائقة تسير بسرعة 90 km/h ترى عائقًا. زمن ردّ فعلها 1,2 s، تكبح السيارة بعده بتباطؤ ثابت 6 m/s². أوجد مسافة التوقّف الكلية d من لحظة رؤيتها العائق.

v₀ = 90 km/ht_r = 1,2 sa = −6 m/s²

d = m

2.علم الحركةصعبة

يُسقَط حجر من السكون في بئر. يُسمع صوت ارتطامه بالماء بعد 5 s من إفلاته. سرعة الصوت 343 m/s؛ أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد عمق البئر d.

t_total = 5 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

زلّاجة كتلتها 15 kg تُسحب على ثلج مستوٍ بحبل يميل 15° فوق الأفق بقوة 90 N. معامل الاحتكاك الحركي 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الزلّاجة a.

m = 15 kgF = 90 Nθ = 15°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسمان على أرضية مستوية موصولان بخيط أفقي خفيف. قوة أفقية مقدارها 125 N تسحب الجسم الأمامي ذا الكتلة 1 kg؛ ويُجرّ الجسم ذو الكتلة 4 kg خلفه. معامل الاحتكاك الحركي 0,1 للجسمين كليهما. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T في الخيط الواصل.

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgF = 125 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 35° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 28 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

t = s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 50° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 45 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 33 m/sθ = 50°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

سيارة كتلتها 800 kg تمرّ فوق قمة نتوء في الطريق بسرعة 11 m/s. قمة النتوء قوس دائري نصف قطره 60 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها الطريق على السيارة عند القمة.

m = 800 kgv = 11 m/sr = 60 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1,8 kg مربوطة بخيط طوله 1,4 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 3 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 1,8 kgr = 1,4 mv = 3 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 100 km/h على طريق مستوٍ تكبح بقوة وتنزلق حتى تتوقّف وعجلاتها مقفلة. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,8. أوجد مسافة التوقّف d.

v = 100 km/hμ = 0,8g = 9,81 m/s²

d = m

10.الشغل والطاقةصعبة

جسم كتلته 20 kg يبدأ من السكون عند أسفل منحدر بزاوية 15° ويُسحب إلى أعلى المنحدر بقوة ثابتة 140 N موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. أوجد سرعة الجسم v بعد أن يتحرّك 5 m إلى أعلى المنحدر.

m = 20 kgF = 140 Nθ = 15°μ = 0,25d = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 0,5 kg يتحرك بسرعة 2 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 0,5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

سيارة كتلتها 1500 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1100 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 23 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,6. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v₁ قبيل التصادم.

m₁ = 1500 kgm₂ = 1100 kgd = 23 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

كم يجب أن يكون طول بندول بسيط ليكون زمنه الدوري 1,9 s؟ استخدم g = 9,81 m/s². أوجد L.

T = 1,9 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 0,8 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 110 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر استطالة x_max للنابض بوحدة cm.

m = 0,8 kgk = 110 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

أنبوب مغلق من طرف واحد طوله 0,65 m. سرعة الصوت 343 m/s. جد التردد f₁ عند التوافقية الأساسية (الأولى).

v = 343 m/sn = 1L = 0,65 m

f₁ = Hz

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

يسقط ضوء طوله الموجي 656 nm بزاوية قائمة على محزوز فيه 1200 خطًا لكل ميليمتر. جد زاوية θ₁ النهاية العظمى من الرتبة 1.

N = 1200 mm⁻¹λ = 656 nmm = 1

θ₁ = °

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 82,08 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

الوحدات

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

مسافة ردّ الفعل

d₁ = v₀·t_r = 25·1,2 = 30 m

مسافة الكبح

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·6) = 52,08 m

المجموع

d = 30 + 52,08 = 82,08 m

الإجابة

d = 82,08 m

2.علم الحركة

الإجابة: d = 107,7 m

جزآن من الزمن

½·9,81·t₁² = 343·(5 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1715 = 0

زمن السقوط

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1715))/(2·4,905) = 4,686 s

العمق

d = ½·9,81·4,686² = 107,7 m

الإجابة

d = 107,7 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,97 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوة العمودية

N = m·g − F·sin θ = 147,2 − 90·sin 15° = 123,9 N

القوى الأفقية

m·a = F·cos θ − μ·N = 86,93 − 12,39

a = 74,55/15 = 4,97 m/s²

الإجابة

a = 4,97 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 100 N

النظام كله

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (125 − 4,905)/5 = 24,02 m/s²

الجسم الخلفي وحده

T = m₁·(a + μ·g) = 4·(24,02 + 0,981) = 100 N

الإجابة

T = 100 N

مع μ نفسه للجسمين يختفي الاحتكاك: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 3,274 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 35° = 22,94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 35° = 16,06 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·16,06/9,81 = 3,274 s

الإجابة

t = 3,274 s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 6,554 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 50° = 21,21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 50° = 25,28 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 45 + 25,28·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (25,28 + √(639,1 + 882,9))/9,81 = 6,554 s

الإجابة

t = 6,554 s

7.الحركة الدائرية

الإجابة: N = 6235 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوى عند القمة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأسفل) موجب.

m·g − N = m·v²/r

N = 800·9,81 − 800·11²/60 = 7848 − 1613 = 6235 N

الإجابة

N = 6235 N

تبدو السيارة أخفّ: يدفعها الطريق إلى الأعلى بأقل من وزنها.

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 29,23 N

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,8·9,81 + 1,8·3²/1,4 = 17,66 + 11,57 = 29,23 N

الإجابة

T = 29,23 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 49,16 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

السرعة بالوحدات الأساسية

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

موازنة الطاقة

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27,78²/(2·0,8·9,81) = 49,16 m

الإجابة

d = 49,16 m

مضاعفة السرعة تجعل مسافة التوقّف أطول بأربع مرات.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 4,574 m/s

القوى على امتداد المنحدر

m·g = 20·9,81 = 196,2 N

mg·sin θ = 50,78 N

μ·mg·cos θ = 47,38 N

الشغل والطاقة

½mv² = (140 − 98,16)·5 = 209,2 J

v = √(2·209,2/20) = 4,574 m/s

الإجابة

v = 4,574 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 0,4 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (0,5 − 4,5)/(0,5 + 4,5)·2 = −1,6 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 4,5)·2 = 0,4 m/s

الإجابة

v′₂ = 0,4 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v₁ = 28,52 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

السرعة بعد التصادم

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·23) = 16,45 m/s

كمية الحركة في التصادم

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·16,45/1500 = 28,52 m/s

الإجابة

v₁ = 28,52 m/s

(102,7 km/h)

13.النوابض والبندولات

الإجابة: L = 0,897 m

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

احسب الطول

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,9/2π)² = 0,897 m

الإجابة

L = 0,897 m

14.النوابض والبندولات

الإجابة: x_max = 14,27 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 0,8·9,81/110 = 0,07135 m = A

أدنى نقطة

x_max = 2A = 0,1427 m = 14,27 cm

الإجابة

x_max = 14,27 cm

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: f₁ = 131,9 Hz

الموجات الموقوفة وأثر دوبلر: الوتر المثبت من الطرفين، أو الأنبوب المفتوح من الطرفين، يتسع لأنصاف أطوال موجية كاملة: L = nλ/2، f_n = n·v/(2L)، n = 1, 2, 3, … للأنبوب المغلق من طرف واحد عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح: L = nλ/4 مع n فردي فقط، f_n = n·v/(4L). عندما يتحرك المصدر أو المراقب على الخط الواصل بينهما، f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): استخدم الإشارات العليا للحركة الواحد نحو الآخر. موجتان متقاربتا التردد تُحدثان ضربات بتردد |f₁ − f₂|.

الطول الموجي لهذا النمط

λ = 4L/n = 4·0,65/1 = 2,6 m

التردد

f = v/λ = 343/2,6 = 131,9 Hz

الإجابة

f₁ = 131,9 Hz

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: θ₁ = 51,92 °

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

تباعد الخطوط

d = 1/1200 mm = 8,333 × 10⁻⁷ m

معادلة المحزوز

sin θ = mλ/d = 1·656 × 10⁻⁹/(8,333 × 10⁻⁷) = 0,7872

θ = 51,92°

الإجابة

θ₁ = 51,92°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics