الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 108 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 8 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 108 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

يُسقَط حجر من السكون في بئر. يُسمع صوت ارتطامه بالماء بعد 4,2 s من إفلاته. سرعة الصوت 343 m/s؛ أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد عمق البئر d.

t_total = 4,2 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق صندوق على أرضية مستوية بسرعة ابتدائية 6 m/s ويتوقّف بعد 9,2 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معامل الاحتكاك الحركي μ.

v₀ = 6 m/sd = 9,2 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 2 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 2,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 2 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُركل كرة من أرض مستوية بسرعة 30 m/s وبزاوية 35° فوق الأفق نحو جدار على بعد 26 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y تمرّ الكرة بالجدار؟

v₀ = 30 m/sθ = 35°x = 26 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 37 m/s وبزاوية 70° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 30 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 37 m/sθ = 70°h_roof = 30 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

في لعبة الدوّار بمدينة الملاهي يقف الراكبون مستندين إلى جدار أسطوانة رأسية نصف قطرها 2,8 m. عندما تدور بسرعة كافية تنخفض الأرضية ويثبّتهم الاحتكاك. معامل الاحتكاك السكوني 0,6. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر سرعة زاوية ω بوحدة rad/s.

r = 2,8 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 250 m مائل بزاوية 30°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,4. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أعلى سرعة v_max يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى الأعلى والخارج.

r = 250 mθ = 30°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة كتلتها 1500 kg تصعد منحدرًا بزاوية 5° بسرعة ثابتة 36 km/h. مقاومة الهواء ومقاومة التدحرج معًا تبلغان 650 N. أوجد القدرة P التي يجب أن تعطيها العجلات، بوحدة kW.

m = 1500 kgθ = 5°F_r = 650 Nv = 36 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.الشغل والطاقةصعبة

جسم كتلته 8 kg يبدأ من السكون عند أسفل منحدر بزاوية 25° ويُسحب إلى أعلى المنحدر بقوة ثابتة 80 N موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. أوجد سرعة الجسم v بعد أن يتحرّك 9 m إلى أعلى المنحدر.

m = 8 kgF = 80 Nθ = 25°μ = 0,2d = 9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 4,5 kg يتحرك بسرعة 2 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 2 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 800 kg تسير شرقًا بسرعة 9 m/s بسيارة كتلتها 1500 kg تسير شمالًا بسرعة 21 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد اتجاه الحطام θ مباشرةً بعد التصادم، مقيسًا شمال الشرق.

m₁ = 800 kgv₁ = 9 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 21 m/s (N)

θ = °

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 2,6 kg على نابض k = 270 N/m تُسحب 15 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد سرعتها v عند t = 0,9 s (مع الإشارة).

m = 2,6 kgk = 270 N/mA = 15 cmt = 0,9 s

v = m/s

14.النوابض والبندولاتصعبة

جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 3,8 s وسعة 15 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من موضع الاتزان إلى إزاحة 4,5 cm؟

T = 3,8 sA = 15 cmx = 4,5 cm

t = s

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

يجب أن تقع التوافقية رقم 5 في أنبوب مفتوح الطرفين عند 2144 Hz. سرعة الصوت 343 m/s. جد طول الأنبوب L.

v = 343 m/sn = 5f₅ = 2144 Hz

L = m

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

جسم على بعد 8 cm أمام مرآة مقعرة نصف قطر تقوسها 20 cm. جد التكبير m (سالب للصورة المقلوبة).

d_o = 8 cmR = 20 cm

m =

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 56,25 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·8) = 56,25 m

الإجابة

s = 56,25 m

2.علم الحركة

الإجابة: d = 77,47 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

جزآن من الزمن

½·9,81·t₁² = 343·(4,2 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1441 = 0

زمن السقوط

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1441))/(2·4,905) = 3,974 s

العمق

d = ½·9,81·3,974² = 77,47 m

الإجابة

d = 77,47 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: μ = 0,1994

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

التباطؤ

a = v₀²/(2d) = 6²/(2·9,2) = 1,957 m/s²

معامل الاحتكاك

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,957/9,81 = 0,1994

الإجابة

μ = 0,1994

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,578 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 3,924)/4,5 = 4,578 m/s²

الإجابة

a = 4,578 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: y = 12,71 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

الزمن حتى الجدار

v_x = 30·cos 35° = 24,57 m/s

t = x/v_x = 26/24,57 = 1,058 s

الارتفاع في تلك اللحظة

y = 17,21·1,058 − ½·9,81·1,058² = 12,71 m

الإجابة

y = 12,71 m

الكرة لا تزال ترتفع عند الجدار.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 76,98 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 12,65 m/s, v_y = 34,77 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

30 = 34,77·t − 4,905·t²

t = (34,77 + √(34,77² − 2·9,81·30))/9,81 = 6,083 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 12,65·6,083 = 76,98 m

الإجابة

x = 76,98 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: ω = 2,416 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوى على الراكب

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

السرعة الزاوية

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·2,8)) = 2,416 rad/s

الإجابة

ω = 2,416 rad/s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 55,83 m/s

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أسفل المنحدر.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(250·9,81·0,8464/0,666) = 55,83 m/s

الإجابة

v_max = 55,83 m/s

(201 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: P = 19,32 kW

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). القدرة هي القوة مضروبة في السرعة: P = F·v.

قوة الدفع

m·g = 1500·9,81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 5° = 1282 N

F = 1282 + 650 = 1932 N

القدرة

v = 36/3,6 = 10 m/s

P = F·v = 1932·10 = 19325 W = 19,32 kW

الإجابة

P = 19,32 kW

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 8,565 m/s

القوى على امتداد المنحدر

m·g = 8·9,81 = 78,48 N

mg·sin θ = 33,17 N

μ·mg·cos θ = 14,23 N

الشغل والطاقة

½mv² = (80 − 47,39)·9 = 293,5 J

v = √(2·293,5/8) = 8,565 m/s

الإجابة

v = 8,565 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 2,769 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (4,5 − 2)/(4,5 + 2)·2 = 0,7692 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 2)·2 = 2,769 m/s

الإجابة

v′₂ = 2,769 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: θ = 77,12 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

مركّبات كمية الحركة

p_x = 800·9 = 7200 kg·m/s

p_y = 1500·21 = 31500 kg·m/s

الاتجاه

tan θ = p_y/p_x = 4,375 → θ = 77,12°

الإجابة

θ = 77,12°

13.النوابض والبندولات

الإجابة: v = −0,3831 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(270/2,6) = 10,19 rad/s

ω·t = 10,19·0,9 = 9,171 rad

السرعة المتجهة

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,15·10,19·sin(9,171) = −0,3831 m/s

الإجابة

v = −0,3831 m/s

14.النوابض والبندولات

الإجابة: t = 0,1843 s

التردد الزاوي

ω = 2π/T = 2π/3,8 = 1,653 rad/s

حلّ لإيجاد الزمن

0,3 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,3) = 0,3047 rad

t = 0,3047/1,653 = 0,1843 s

الإجابة

t = 0,1843 s

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: L = 0,4 m

الموجات الموقوفة وأثر دوبلر: الوتر المثبت من الطرفين، أو الأنبوب المفتوح من الطرفين، يتسع لأنصاف أطوال موجية كاملة: L = nλ/2، f_n = n·v/(2L)، n = 1, 2, 3, … للأنبوب المغلق من طرف واحد عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح: L = nλ/4 مع n فردي فقط، f_n = n·v/(4L). عندما يتحرك المصدر أو المراقب على الخط الواصل بينهما، f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): استخدم الإشارات العليا للحركة الواحد نحو الآخر. موجتان متقاربتا التردد تُحدثان ضربات بتردد |f₁ − f₂|.

الطول الموجي

λ = v/f = 343/2144 = 0,16 m

الطول

L = nλ/2 = 5·0,16/2 = 0,4 m

الإجابة

L = 0,4 m

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: m = 5

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

البعد البؤري

f = R/2 = 10 cm

معادلة المرآة

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/8

d_i = −40 cm

التكبير

m = −(−40)/8 = 5

الإجابة

m = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics