الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سائقة تسير بسرعة 90 km/h ترى عائقًا. زمن ردّ فعلها 1 s، تكبح السيارة بعده بتباطؤ ثابت 7 m/s². أوجد مسافة التوقّف الكلية d من لحظة رؤيتها العائق.

v₀ = 90 km/ht_r = 1 sa = −7 m/s²

d = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 9 m/s من حافة سطح يرتفع 35 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max فوق الأرض.

v₀ = 9 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

كتلتان مقدارهما 7 kg و 0,5 kg معلّقتان على جانبي بكرة خفيفة عديمة الاحتكاك، موصولتان بخيط خفيف. يُترك النظام من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 7 kgm₂ = 0,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 1,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 4 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 4 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 35° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد أقصى ارتفاع H تبلغه الكرة.

v₀ = 26 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

H = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 25 m/s وبزاوية 60° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 50 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بأيّ زاوية α تحت الأفق ترتطم بالأرض؟

v₀ = 25 m/sθ = 60°h = 50 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.الحركة الدائريةمتوسطة

يريد مهندس طرق أن تسلك السيارات منعطفًا نصف قطره 340 m بسرعة 100 km/h دون الاعتماد على الاحتكاك. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زاوية الميل θ.

r = 340 mv = 100 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 70 m مائل بزاوية 30°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,4. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أعلى سرعة v_max يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى الأعلى والخارج.

r = 70 mθ = 30°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

كرة كتلتها 1 kg معلّقة بخيط خفيف طوله 1 m. تُسحب جانبًا حتى يصنع الخيط 40° مع الرأسي ثم تُترك من السكون. أوجد الشدّ T في الخيط عندما تمرّ الكرة بأدنى نقطة.

m = 1 kgL = 1 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = N

10.الشغل والطاقةصعبة

جسم كتلته 20 kg يبدأ من السكون عند أسفل منحدر بزاوية 15° ويُسحب إلى أعلى المنحدر بقوة ثابتة 160 N موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. أوجد سرعة الجسم v بعد أن يتحرّك 3 m إلى أعلى المنحدر.

m = 20 kgF = 160 Nθ = 15°μ = 0,25d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

سيارة كتلتها 700 kg تتحرّك بسرعة 17 m/s تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 500 kg وتلتحمان معًا. كم من الطاقة الحركية ΔK يُفقد في التصادم؟

m₁ = 700 kgv₁ = 17 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 10 g أفقيًا في كتلة مقدارها 3 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 0,5 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 10° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 10 gM = 3 kgL = 0,5 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 3,3 kg على نابض k = 100 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 17 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 13 cm من موضع الاتزان.

m = 3,3 kgk = 100 N/mA = 17 cmx = 13 cm

v = m/s

14.النوابض والبندولاتصعبة

رصاصة كتلتها 15 g تتحرّك بسرعة 450 m/s تصطدم بكتلة مقدارها 4 kg ساكنة على سطح أملس وتستقر فيها. الكتلة موصولة بنابض أفقي k = 500 N/m. أوجد سعة الاهتزاز الناتج A بوحدة cm.

m = 15 gv = 450 m/sM = 4 kgk = 500 N/m

A = cm

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

تعطي آلة واحدة مستوى صوت قدره 60 dB عند نقطة معينة. جد المستوى β عند تلك النقطة عندما تعمل 8 آلات متطابقة في الوقت نفسه (مصادر غير متشاكهة).

β₁ = 60 dBn = 8

β = dB

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

يسقط ضوء طوله الموجي 500 nm على شقين يبعد أحدهما عن الآخر 0,4 mm. الشاشة على بعد 1 m. جد المسافة y₃ من الهدب المضيء المركزي إلى الهدب المضيء رقم 3.

λ = 500 nmd = 0,4 mmL = 1 mm = 3

y₃ = mm

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 69,64 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

الوحدات

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

مسافة ردّ الفعل

d₁ = v₀·t_r = 25·1 = 25 m

مسافة الكبح

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·7) = 44,64 m

المجموع

d = 25 + 44,64 = 69,64 m

الإجابة

d = 69,64 m

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 39,13 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الارتفاع فوق السطح

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 9²/(2·9,81) = 4,128 m

الارتفاع فوق الأرض

h_max = 35 + 4,128 = 39,13 m

الإجابة

h_max = 39,13 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 9,156 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

التسارع

القوة الدافعة المحصّلة هي الفرق بين الوزنين؛ وهي تحرّك الكتلة الكلية.

a = (7 − 0,5)·9,81/(7 + 0,5) = 8,502 m/s²

الشدّ من الكتلة الأخف

T − m₂·g = m₂·a → T = 0,5·(9,81 + 8,502) = 9,156 N

الإجابة

T = 9,156 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 13,91 N

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 4,414)/5,5 = 6,332 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1,5·6,332 + 4,414 = 13,91 N

الإجابة

T = 13,91 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 11,34 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 35° = 21,3 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 35° = 14,91 m/s

أعلى نقطة

في القمة تكون السرعة الرأسية صفرًا: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 14,91²/(2·9,81) = 11,34 m

الإجابة

H = 11,34 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: α = 71,83 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 25·cos 60° = 12,5 m/s

v_y0 = 25·sin 60° = 21,65 m/s

السرعة الرأسية عند الارتطام

الطاقة أو v² = v₀² + 2as في الاتجاه الرأسي.

v_y = √(21,65² + 2·9,81·50) = 38,08 m/s

زاوية الارتطام

tan α = v_y/v_x = 38,08/12,5 → α = 71,83°

الإجابة

α = 71,83°

7.الحركة الدائرية

الإجابة: θ = 13,03 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

الوحدات

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

زاوية الميل

tan θ = v²/(r·g) = 27,78²/(340·9,81) = 0,2313

θ = 13,03°

الإجابة

θ = 13,03°

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 29,54 m/s

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أسفل المنحدر.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(70·9,81·0,8464/0,666) = 29,54 m/s

الإجابة

v_max = 29,54 m/s

(106,3 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: T = 14,4 N

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). على مسار دائري يجب أن تساوي القوة المحصّلة نحو المركز mv²/r.

السرعة عند الأسفل

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·1·(1 − cos 40°) = 4,59 m²/s²

القوى عند الأسفل

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

T = mg + mv²/L = 9,81 + 1·4,59/1 = 14,4 N

الإجابة

T = 14,4 N

تحقّق: T = mg(3 − 2cos θ) = 14,4 N.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 4,307 m/s

القوى على امتداد المنحدر

m·g = 20·9,81 = 196,2 N

mg·sin θ = 50,78 N

μ·mg·cos θ = 47,38 N

الشغل والطاقة

½mv² = (160 − 98,16)·3 = 185,5 J

v = √(2·185,5/20) = 4,307 m/s

الإجابة

v = 4,307 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: ΔK = 42146 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

السرعة المشتركة

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·17/1200 = 9,917 m/s

الطاقة الحركية قبل وبعد

K_before = ½·700·17² = 101150 J

K_after = ½·1200·9,917² = 59004 J

الطاقة المفقودة

ΔK = 101150 − 59004 = 42146 J

الإجابة

ΔK = 42146 J

تذهب الطاقة المفقودة إلى التشوّه والحرارة والصوت.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 116,2 m/s

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 0,5·(1 − cos 10°) = 0,007596 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,007596) = 0,3861 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 3,01·0,3861/0,01 = 116,2 m/s

الإجابة

v = 116,2 m/s

13.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 0,603 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(100/3,3) = 5,505 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 5,505·√(0,17² − 0,13²) = 0,603 m/s

الإجابة

v = 0,603 m/s

14.النوابض والبندولات

الإجابة: A = 15,07 cm

السرعة بعد الاصطدام

V = m·v/(m + M) = 0,015·450/4,015 = 1,681 m/s

التردد الزاوي

ω = √(k/(m + M)) = √(500/4,015) = 11,16 rad/s

السعة

A = V/ω = 1,681/11,16 = 0,1507 m = 15,07 cm

الإجابة

A = 15,07 cm

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: β = 69,03 dB

الموجات: تتحرك الموجة الدورية طولًا موجيًا واحدًا في دور واحد، إذن v = fλ مع T = 1/f. على وتر مشدود v = √(T/μ)، حيث T الشد و μ = m/L الكتلة لكل متر. ينتشر الصوت في الهواء بنحو 343 m/s عند 20 °C، والضوء في الفراغ بـ c = 3,00 × 10⁸ m/s. يُقاس علو الصوت بمقياس لوغاريتمي: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB مع I₀ = 10⁻¹² W/m²، فعشرة أضعاف الشدة تضيف 10 dB. يوزّع مصدر نقطي قدرته P على كرة: I = P/(4πr²).

الشدة الكلية

I = 8·I₁

المستوى

β = 60 + 10·log₁₀(8) = 69,03 dB

الإجابة

β = 69,03 dB

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: y₃ = 3,75 mm

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

تباعد الأهداب

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·1/(0,4 × 10⁻³) = 1,25 mm

الهدب رقم 3

y₃ = 3·1,25 = 3,75 mm

الإجابة

y₃ = 3,75 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics