الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 54 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 3,5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 54 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

يُطلق صاروخ نموذجي رأسيًا إلى الأعلى من السكون. يمنحه محرّكه تسارعًا ثابتًا إلى الأعلى مقداره 28 m/s² لمدة 3 s، ثم يتوقّف المحرّك ويتحرّك الصاروخ حرًّا. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max يبلغه الصاروخ.

a = 28 m/s²t₁ = 3 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

كتلتان مقدارهما 6 kg و 5 kg معلّقتان على جانبي بكرة خفيفة عديمة الاحتكاك، موصولتان بخيط خفيف. يُترك النظام من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 6 kgm₂ = 5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 9 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 4 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 9 kgm₂ = 4 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 40° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 40 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

t = s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 35° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 45 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 19 m/sθ = 35°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

يريد مهندس طرق أن تسلك السيارات منعطفًا نصف قطره 180 m بسرعة 60 km/h دون الاعتماد على الاحتكاك. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زاوية الميل θ.

r = 180 mv = 60 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.الحركة الدائريةصعبة

تُترك عربة صغيرة من السكون على مسار عديم الاحتكاك وتدخل حلقة رأسية نصف قطرها 8,5 m. من أيّ ارتفاع أدنى h_min فوق قاع الحلقة يجب أن تبدأ كي تبقى على المسار عند قمة الحلقة؟

R = 8,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 0,5 kg مسافة 11 m على منحدر يميل بزاوية 30° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,35. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 0,5 kgθ = 30°μ = 0,35d = 11 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 10 kg من السكون على ارتفاع 3,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 2 m (μ = 0,2) ثم يصطدم بنابض (k = 500 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 10 kgh = 3,5 mL = 2 mμ = 0,2k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

سيارة كتلتها 500 kg تتحرّك بسرعة 8 m/s تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 700 kg وتلتحمان معًا. كم من الطاقة الحركية ΔK يُفقد في التصادم؟

m₁ = 500 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

سيارة كتلتها 2000 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1100 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 23 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v₁ قبيل التصادم.

m₁ = 2000 kgm₂ = 1100 kgd = 23 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 3,1 kg على نابض k = 300 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 17 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 15 cm من موضع الاتزان.

m = 3,1 kgk = 300 N/mA = 17 cmx = 15 cm

v = m/s

14.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 2 kg على نابض k = 410 N/m تُسحب 8 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى تسارع لها a_max.

m = 2 kgk = 410 N/mA = 8 cm

a_max = m/s²

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

مصدر صغير يرسل الصوت بالتساوي في كل الاتجاهات. المستوى 100 dB على بعد 2 m منه. جد المستوى β₂ على بعد 20 m، مع إهمال الامتصاص والانعكاسات.

β₁ = 100 dBr₁ = 2 mr₂ = 20 m

β₂ = dB

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

ليف ضوئي له قلب بـ n₁ = 1,62 وغلاف بـ n₂ = 1,52. جد أكبر زاوية θ_a مع محور الليف يمكن أن يدخل عندها الضوء القادم من الهواء طرف الليف ويظل موجَّهًا بالانعكاس الداخلي الكلي.

n₁ = 1,62n₂ = 1,52n₀ = 1,00

θ_a = °

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 32,14 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·3,5) = 32,14 m

الإجابة

s = 32,14 m

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 485,6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

مرحلة الدفع

v₁ = 28·3 = 84 m/s

h₁ = ½·28·3² = 126 m

الطيران الحرّ صعودًا

عند القمة تكون السرعة صفرًا.

Δh = v₁²/(2g) = 84²/(2·9,81) = 359,6 m

h_max = 126 + 359,6 = 485,6 m

الإجابة

h_max = 485,6 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 53,51 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

التسارع

القوة الدافعة المحصّلة هي الفرق بين الوزنين؛ وهي تحرّك الكتلة الكلية.

a = (6 − 5)·9,81/(6 + 5) = 0,8918 m/s²

الشدّ من الكتلة الأخف

T − m₂·g = m₂·a → T = 5·(9,81 + 0,8918) = 53,51 N

الإجابة

T = 53,51 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 33,96 N

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 22,07)/13 = 1,321 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·1,321 + 22,07 = 33,96 N

الإجابة

T = 33,96 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 5,242 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 40° = 30,64 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 40° = 25,71 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·25,71/9,81 = 5,242 s

الإجابة

t = 5,242 s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 4,337 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 35° = 15,56 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 35° = 10,9 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 45 + 10,9·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,9 + √(118,8 + 882,9))/9,81 = 4,337 s

الإجابة

t = 4,337 s

7.الحركة الدائرية

الإجابة: θ = 8,94 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

الوحدات

v = 60/3,6 = 16,67 m/s

زاوية الميل

tan θ = v²/(r·g) = 16,67²/(180·9,81) = 0,1573

θ = 8,94°

الإجابة

θ = 8,94°

8.الحركة الدائرية

الإجابة: h_min = 21,25 m

الشرط عند القمة

m·g = m·v²/R → v² = g·R

حفظ الطاقة

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·8,5 = 21,25 m

الإجابة

h_min = 21,25 m

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 16,35 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 4,905·0,866 = 4,248 N

F = μN = 0,35·4,248 = 1,487 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 1,487·11 = 16,35 J

الإجابة

W_f = 16,35 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 110,3 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 98,1·(3,5 − 0,2·2) = 304,1 J

أقصى انضغاط

½kx² = 304,1 → x = √(2·304,1/500) = 1,103 m = 110,3 cm

الإجابة

x = 110,3 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: ΔK = 9333 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

السرعة المشتركة

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 500·8/1200 = 3,333 m/s

الطاقة الحركية قبل وبعد

K_before = ½·500·8² = 16000 J

K_after = ½·1200·3,333² = 6667 J

الطاقة المفقودة

ΔK = 16000 − 6667 = 9333 J

الإجابة

ΔK = 9333 J

تذهب الطاقة المفقودة إلى التشوّه والحرارة والصوت.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v₁ = 23,28 m/s

السرعة بعد التصادم

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·23) = 15,02 m/s

كمية الحركة في التصادم

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3100·15,02/2000 = 23,28 m/s

الإجابة

v₁ = 23,28 m/s

(83,82 km/h)

13.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 0,787 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(300/3,1) = 9,837 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 9,837·√(0,17² − 0,15²) = 0,787 m/s

الإجابة

v = 0,787 m/s

14.النوابض والبندولات

الإجابة: a_max = 16,4 m/s²

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(410/2) = 14,32 rad/s

أقصى تسارع

a_max = A·ω² = 0,08·14,32² = 16,4 m/s²

الإجابة

a_max = 16,4 m/s²

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: β₂ = 80 dB

الموجات: تتحرك الموجة الدورية طولًا موجيًا واحدًا في دور واحد، إذن v = fλ مع T = 1/f. على وتر مشدود v = √(T/μ)، حيث T الشد و μ = m/L الكتلة لكل متر. ينتشر الصوت في الهواء بنحو 343 m/s عند 20 °C، والضوء في الفراغ بـ c = 3,00 × 10⁸ m/s. يُقاس علو الصوت بمقياس لوغاريتمي: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB مع I₀ = 10⁻¹² W/m²، فعشرة أضعاف الشدة تضيف 10 dB. يوزّع مصدر نقطي قدرته P على كرة: I = P/(4πr²).

نسبة الشدة

I₂/I₁ = (2/20)² = 0,01

المستوى الجديد

β₂ = 100 + 10·log₁₀(0,01) = 80 dB

الإجابة

β₂ = 80 dB

كل مضاعفة للمسافة تخفض المستوى بنحو 6 dB.

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: θ_a = 34,08 °

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

الزاوية الحرجة عند الغلاف

sin θc = 1,52/1,62 = 0,9383 → θc = 69,76°

الفتحة العددية

NA = √(1,62² − 1,52²) = 0,5604

زاوية القبول

θ_a = arcsin(0,5604) = 34,08°

الإجابة

θ_a = 34,08°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics