الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تبدأ طائرة من السكون وتتسارع بانتظام بمقدار 1,5 m/s² على مدرج. أوجد سرعتها v بعد 1800 m.

v₀ = 0a = 1,5 m/s²s = 1800 m

v = m/s

2.علم الحركةصعبة

يبدأ ترام من السكون ويتسارع بمقدار 2,5 m/s² لمدة 7 s، ثم يسير بسرعة ثابتة لمدة 9 s، وأخيرًا يكبح بمقدار 4,5 m/s² حتى يتوقّف. أوجد زمن الرحلة الكلي t.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 7 st₂ = 9 sa₃ = −4,5 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 12 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 40° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 12 kgθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 6,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 3,5 kg. الطاولة ملساء. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 34 m/s ويجب أن تهبط على بعد 95 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 34 m/sR = 95 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 10 m/s وبزاوية 65° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 35 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 10 m/sθ = 65°h = 35 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 75 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 75 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1,9 kg مربوطة بخيط طوله 0,9 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 6 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 1,9 kgr = 0,9 mv = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 25° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 20 m على المنحدر.

θ = 25°μ = 0,25d = 20 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 5 kg من السكون على ارتفاع 3,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 4,5 m (μ = 0,3) ثم يصطدم بنابض (k = 5000 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 5 kgh = 3,5 mL = 4,5 mμ = 0,3k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

قذيفة كتلتها 13 kg تتحرّك أفقيًا بسرعة 21 m/s تنفجر إلى شظيتين تتحرّكان على الخط نفسه. تواصل الشظية ذات الكتلة 11 kg إلى الأمام بسرعة 75 m/s. أوجد سرعة v′₂ الشظية ذات الكتلة 2 kg (موجبة في الاتجاه الأصلي).

M = 13 kgu = 21 m/sm₁ = 11 kgv′₁ = 75 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 12 g أفقيًا في كتلة مقدارها 3,5 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 1,4 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 35° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 12 gM = 3,5 kgL = 1,4 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 1,2 kg على نابض k = 140 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 5 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 3 cm من موضع الاتزان.

m = 1,2 kgk = 140 N/mA = 5 cmx = 3 cm

v = m/s

14.النوابض والبندولاتصعبة

جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 2,5 s وسعة 4 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من أقصى إزاحة له 4 cm إلى إزاحة 3 cm؟

T = 2,5 sA = 4 cmx = 3 cm

t = s

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

يجب أن تقع التوافقية رقم 2 في وتر مثبت من الطرفين عند 250 Hz؛ وتنتقل عليه الموجات بسرعة 300 m/s. جد طوله L.

v = 300 m/sn = 2f₂ = 250 Hz

L = m

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

عدستان رقيقتان تتشاركان المحور وتبعد إحداهما عن الأخرى 15 cm: العدسة 1 بُعدها البؤري f₁ = 20 cm والعدسة 2 بُعدها البؤري f₂ = −15 cm. جسم على بعد 25 cm أمام العدسة 1. جد موضع d_i2 الصورة النهائية مقيسًا من العدسة 2 (موجب بعد العدسة 2، باصطلاح الحقيقية موجبة).

f₁ = 20 cmf₂ = −15 cms = 15 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: v = 73,48 m/s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

السرعة بعد المسافة

v = √(2·a·s) = √(2·1,5·1800) = 73,48 m/s

الإجابة

v = 73,48 m/s

(264,5 km/h)

2.علم الحركة

الإجابة: t = 19,89 s

السرعة القصوى

v = a₁·t₁ = 2,5·7 = 17,5 m/s

زمن الكبح

t₃ = v/a₃ = 17,5/4,5 = 3,889 s

الزمن الكلي

t = 7 + 9 + 3,889 = 19,89 s

الإجابة

t = 19,89 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,803 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 40° − 0,2·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1532) = 4,803 m/s²

الإجابة

a = 4,803 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 3,433 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 0)/10 = 3,433 m/s²

الإجابة

a = 3,433 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 26,86 °

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·95/34² = 0,8062

الزاوية

2θ = 53,72° → θ = 26,86°

الإجابة

θ = 26,86°

الحل الآخر 90° − θ = 63,14°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 39,19 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 10·sin 65° = 9,063 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 9,063²/(2·9,81) = 4,187 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 35 + 4,187 = 39,19 m

الإجابة

H = 39,19 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 14,86 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·75) = 14,86 m/s

الإجابة

v_max = 14,86 m/s (53,48 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 94,64 N

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,9·9,81 + 1,9·6²/0,9 = 18,64 + 76 = 94,64 N

الإجابة

T = 94,64 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 8,771 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·20·(0,4226 − 0,25·0,9063)) = 8,771 m/s

الإجابة

v = 8,771 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 20,54 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 49,05·(3,5 − 0,3·4,5) = 105,5 J

أقصى انضغاط

½kx² = 105,5 → x = √(2·105,5/5000) = 0,2054 m = 20,54 cm

الإجابة

x = 20,54 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = −276 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

كمية الحركة قبل التصادم

p = M·u = 13·21 = 273 kg·m/s

كمية الحركة بعد التصادم

273 = 11·75 + 2·v′₂

v′₂ = (273 − 825)/2 = −276 m/s

الإجابة

v′₂ = −276 m/s

إشارة السالب تعني أن الشظية الثانية تطير إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 652,3 m/s

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 1,4·(1 − cos 35°) = 0,2532 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,2532) = 2,229 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 3,512·2,229/0,012 = 652,3 m/s

الإجابة

v = 652,3 m/s

13.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 0,432 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(140/1,2) = 10,8 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 10,8·√(0,05² − 0,03²) = 0,432 m/s

الإجابة

v = 0,432 m/s

14.النوابض والبندولات

الإجابة: t = 0,2876 s

التردد الزاوي

ω = 2π/T = 2π/2,5 = 2,513 rad/s

حلّ لإيجاد الزمن

0,75 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,75) = 0,7227 rad

t = 0,7227/2,513 = 0,2876 s

الإجابة

t = 0,2876 s

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: L = 1,2 m

الموجات الموقوفة وأثر دوبلر: الوتر المثبت من الطرفين، أو الأنبوب المفتوح من الطرفين، يتسع لأنصاف أطوال موجية كاملة: L = nλ/2، f_n = n·v/(2L)، n = 1, 2, 3, … للأنبوب المغلق من طرف واحد عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح: L = nλ/4 مع n فردي فقط، f_n = n·v/(4L). عندما يتحرك المصدر أو المراقب على الخط الواصل بينهما، f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): استخدم الإشارات العليا للحركة الواحد نحو الآخر. موجتان متقاربتا التردد تُحدثان ضربات بتردد |f₁ − f₂|.

الطول الموجي

λ = v/f = 300/250 = 1,2 m

الطول

L = nλ/2 = 2·1,2/2 = 1,2 m

الإجابة

L = 1,2 m

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: d_i2 = −18,21 cm

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

صورة العدسة 1

1/d_i1 = 1/20 − 1/25 → d_i1 = 100 cm

الجسم للعدسة 2

d_o2 = 15 − 100 = −85 cm

الصورة النهائية

1/d_i2 = 1/(−15) − 1/(−85) → d_i2 = −18,21 cm

الإجابة

d_i2 = −18,21 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics