الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة مسرعة بسرعة ثابتة 32 m/s تمرّ بسيارة شرطة متوقّفة. في تلك اللحظة تنطلق سيارة الشرطة وتتسارع بانتظام بمقدار 6 m/s². كم تستغرق سيارة الشرطة لتلحق بها؟ أوجد t.

v_car = 32 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 10 m/s من حافة سطح يرتفع 15 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 10 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

كتلتان مقدارهما 1,5 kg و 1 kg معلّقتان على جانبي بكرة خفيفة عديمة الاحتكاك، موصولتان بخيط خفيف. يُترك النظام من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الكتلتين a.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 1 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 2,5 kg على منحدر يميل 20° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 8,5 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 8,5 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 30° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد أقصى ارتفاع H تبلغه الكرة.

v₀ = 30 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

H = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 32 m/s وبزاوية 50° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 30 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 32 m/sθ = 50°h = 30 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 55 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 55 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1,8 kg مربوطة بخيط طوله 0,6 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 3,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 1,8 kgr = 0,6 mv = 3,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 80 km/h على طريق مستوٍ تكبح بقوة وتنزلق حتى تتوقّف وعجلاتها مقفلة. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,6. أوجد مسافة التوقّف d.

v = 80 km/hμ = 0,6g = 9,81 m/s²

d = m

10.الشغل والطاقةصعبة

عربة كتلتها 5 kg تُترك من السكون على ارتفاع 15 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 5 m. أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.

m = 5 kgh = 15 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 3,5 kg يتحرك بسرعة 10 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 2,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 1400 kg تسير شرقًا بسرعة 11 m/s بسيارة كتلتها 1400 kg تسير شمالًا بسرعة 16 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد اتجاه الحطام θ مباشرةً بعد التصادم، مقيسًا شمال الشرق.

m₁ = 1400 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 16 m/s (N)

θ = °

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 3,8 kg على نابض k = 180 N/m تُسحب 11 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد إزاحتها x عن موضع الاتزان عند t = 1,1 s (مع الإشارة).

m = 3,8 kgk = 180 N/mA = 11 cmt = 1,1 s

x = cm

14.النوابض والبندولاتصعبة

جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 0,8 s وسعة 8 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من أقصى إزاحة له 8 cm إلى إزاحة 4 cm؟

T = 0,8 sA = 8 cmx = 4 cm

t = s

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

وتر مثبت من الطرفين طوله 1,2 m؛ وتنتقل الموجات عليه بسرعة 240 m/s. جد التردد f₅ عند التوافقية رقم 5.

v = 240 m/sn = 5L = 1,2 m

f₅ = Hz

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

يسقط ضوء طوله الموجي 450 nm على شقين يبعد أحدهما عن الآخر 0,1 mm. الشاشة على بعد 1,2 m. جد المسافة y₅ من الهدب المضيء المركزي إلى الهدب المضيء رقم 5.

λ = 450 nmd = 0,1 mmL = 1,2 mm = 5

y₅ = mm

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 10,67 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

تساوي المسافتين

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·32/6 = 10,67 s

الإجابة

t = 10,67 s

في تلك اللحظة تتحرّك سيارة الشرطة بسرعة 2v = 64 m/s.

2.علم الحركة

الإجابة: t = 3,044 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−15 = 10·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 10·t − 15 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (10 + √(10² + 2·9,81·15))/9,81 = 3,044 s

الإجابة

t = 3,044 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 1,962 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

التسارع

القوة الدافعة المحصّلة هي الفرق بين الوزنين؛ وهي تحرّك الكتلة الكلية.

a = (1,5 − 1)·9,81/(1,5 + 1) = 1,962 m/s²

الإجابة

a = 1,962 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 6,504 m/s²

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 83,39 N

m₁·g·sin θ = 8,388 N

μ·m₁·g·cos θ = 3,457 N

تسارع النظام

a = (83,39 − 8,388 − 3,457)/11 = 6,504 m/s²

الإجابة

a = 6,504 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 11,47 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 30° = 25,98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 30° = 15 m/s

أعلى نقطة

في القمة تكون السرعة الرأسية صفرًا: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 15²/(2·9,81) = 11,47 m

الإجابة

H = 11,47 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 60,63 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 32·sin 50° = 24,51 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 24,51²/(2·9,81) = 30,63 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 30 + 30,63 = 60,63 m

الإجابة

H = 60,63 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 16,42 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·55) = 16,42 m/s

الإجابة

v_max = 16,42 m/s (59,13 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 54,41 N

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,8·9,81 + 1,8·3,5²/0,6 = 17,66 + 36,75 = 54,41 N

الإجابة

T = 54,41 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 41,95 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

السرعة بالوحدات الأساسية

v = 80/3,6 = 22,22 m/s

موازنة الطاقة

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 22,22²/(2·0,6·9,81) = 41,95 m

الإجابة

d = 41,95 m

مضاعفة السرعة تجعل مسافة التوقّف أطول بأربع مرات.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: N = 49,05 N

السرعة عند القمة

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(15 − 10) = 98,1 m²/s²

القوى عند القمة

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

N = mv²/R − mg = 5·98,1/5 − 49,05 = 49,05 N

الإجابة

N = 49,05 N

تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 11,67 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (3,5 − 2,5)/(3,5 + 2,5)·10 = 1,667 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 2,5)·10 = 11,67 m/s

الإجابة

v′₂ = 11,67 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: θ = 55,49 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

مركّبات كمية الحركة

p_x = 1400·11 = 15400 kg·m/s

p_y = 1400·16 = 22400 kg·m/s

الاتجاه

tan θ = p_y/p_x = 1,455 → θ = 55,49°

الإجابة

θ = 55,49°

13.النوابض والبندولات

الإجابة: x = 3,074 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(180/3,8) = 6,882 rad/s

ω·t = 6,882·1,1 = 7,571 rad

الإزاحة

x = A·cos(ω·t) = 11·cos(7,571) = 3,074 cm

الإجابة

x = 3,074 cm

14.النوابض والبندولات

الإجابة: t = 0,1333 s

التردد الزاوي

ω = 2π/T = 2π/0,8 = 7,854 rad/s

حلّ لإيجاد الزمن

0,5 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,5) = 1,047 rad

t = 1,047/7,854 = 0,1333 s

الإجابة

t = 0,1333 s

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: f₅ = 500 Hz

الموجات الموقوفة وأثر دوبلر: الوتر المثبت من الطرفين، أو الأنبوب المفتوح من الطرفين، يتسع لأنصاف أطوال موجية كاملة: L = nλ/2، f_n = n·v/(2L)، n = 1, 2, 3, … للأنبوب المغلق من طرف واحد عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح: L = nλ/4 مع n فردي فقط، f_n = n·v/(4L). عندما يتحرك المصدر أو المراقب على الخط الواصل بينهما، f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): استخدم الإشارات العليا للحركة الواحد نحو الآخر. موجتان متقاربتا التردد تُحدثان ضربات بتردد |f₁ − f₂|.

الطول الموجي لهذا النمط

λ = 2L/n = 2·1,2/5 = 0,48 m

التردد

f = v/λ = 240/0,48 = 500 Hz

الإجابة

f₅ = 500 Hz

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: y₅ = 27 mm

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

تباعد الأهداب

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·1,2/(0,1 × 10⁻³) = 5,4 mm

الهدب رقم 5

y₅ = 5·5,4 = 27 mm

الإجابة

y₅ = 27 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics