الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 80 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 4 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 80 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُسقَط الكرة A من السكون من ارتفاع 45 m. في اللحظة نفسها تُقذف الكرة B رأسيًا إلى الأعلى من الأرض تحتها مباشرةً بسرعة 24 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y فوق الأرض تلتقيان؟

H = 45 mv_0B = 24 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 20 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 25° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 20 kgθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 25° بسرعة 8,5 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 8,5 m/sθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 25° فوق الأفق وتهبط على بعد 115 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 25°R = 115 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 16 m/s وبزاوية 25° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 40 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بأيّ زاوية α تحت الأفق ترتطم بالأرض؟

v₀ = 16 m/sθ = 25°h = 40 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.الحركة الدائريةمتوسطة

كرة صغيرة مربوطة بخيط طوله 1,4 m تتحرّك في دائرة أفقية بحيث يصنع الخيط زاوية ثابتة 45° مع الرأسي (بندول مخروطي). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الزمن T لدورة واحدة.

L = 1,4 mθ = 45°g = 9,81 m/s²

T = s

8.الحركة الدائريةصعبة

تُترك عربة صغيرة من السكون على مسار عديم الاحتكاك وتدخل حلقة رأسية نصف قطرها 8,5 m. من أيّ ارتفاع أدنى h_min فوق قاع الحلقة يجب أن تبدأ كي تبقى على المسار عند قمة الحلقة؟

R = 8,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 0,5 kg مسافة 19 m على منحدر يميل بزاوية 30° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,4. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 0,5 kgθ = 30°μ = 0,4d = 19 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

عربة كتلتها 5 kg تُترك من السكون على ارتفاع 8,8 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 2,5 m. أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.

m = 5 kgh = 8,8 mR = 2,5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 1,5 kg يتحرك بسرعة 10 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 3 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 1,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,35 kg تصطدم بجدار بسرعة 8 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 10 m/s. يدوم التلامس 10 ms. أوجد متوسط القوة F_avg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.

m = 0,35 kgv_in = 8 m/sv_out = 10 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 2,1 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 2,1 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 2,7 kg على نابض k = 370 N/m تُسحب 12 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد الطاقة الكلية E للاهتزاز.

m = 2,7 kgk = 370 N/mA = 12 cm

E = J

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

يقف جسم على بعد 18 cm أمام عدسة مفرِّقة رقيقة بعدها البؤري 10 cm. جد التكبير m (سالب للصورة المقلوبة).

d_o = 18 cmf = −10 cm

m =

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

يمر ضوء طوله الموجي 450 nm عبر شق مفرد عرضه 0,1 mm. جد زاوية θ₃ الهدب المظلم رقم 3 عن اتجاه المرور المستقيم.

λ = 450 nma = 0,1 mmm = 3

θ₃ = °

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 61,73 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·4) = 61,73 m

الإجابة

s = 61,73 m

2.علم الحركة

الإجابة: y = 27,76 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

زمن الالتقاء

الاتجاه إلى الأعلى موجب، والأرض عند y = 0.

45 − ½g·t² = 24·t − ½g·t² → t = 45/24 = 1,875 s

ارتفاع الالتقاء

y = 24·1,875 − ½·9,81·1,875² = 27,76 m

الإجابة

y = 27,76 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 1,479 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 25° − 0,3·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,2719) = 1,479 m/s²

الإجابة

a = 1,479 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 5,302 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 25° + 0,3·cos 25°) = 6,813 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 8,5²/(2·6,813) = 5,302 m

الإجابة

d = 5,302 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 38,38 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·115/sin 50°) = 38,38 m/s

الإجابة

v₀ = 38,38 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: α = 63,29 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 16·cos 25° = 14,5 m/s

v_y0 = 16·sin 25° = 6,762 m/s

السرعة الرأسية عند الارتطام

الطاقة أو v² = v₀² + 2as في الاتجاه الرأسي.

v_y = √(6,762² + 2·9,81·40) = 28,82 m/s

زاوية الارتطام

tan α = v_y/v_x = 28,82/14,5 → α = 63,29°

الإجابة

α = 63,29°

7.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 1,996 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

نصف قطر الدائرة

r = L·sin θ = 1,4·sin 45° = 0,9899 m

السرعة

الشدّ والجاذبية معًا يعطيان القوة المتجهة إلى الداخل: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,9899·9,81·tan 45°) = 3,116 m/s

الزمن الدوري

T = 2π·r/v = 2π·0,9899/3,116 = 1,996 s

الإجابة

T = 1,996 s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: h_min = 21,25 m

الشرط عند القمة

m·g = m·v²/R → v² = g·R

حفظ الطاقة

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·8,5 = 21,25 m

الإجابة

h_min = 21,25 m

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 32,28 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 4,905·0,866 = 4,248 N

F = μN = 0,4·4,248 = 1,699 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 1,699·19 = 32,28 J

الإجابة

W_f = 32,28 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: N = 100,1 N

السرعة عند القمة

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(8,8 − 5) = 74,56 m²/s²

القوى عند القمة

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

N = mv²/R − mg = 5·74,56/2,5 − 49,05 = 100,1 N

الإجابة

N = 100,1 N

تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = −3,333 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (1,5 − 3)/(1,5 + 3)·10 = −3,333 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 3)·10 = 6,667 m/s

الإجابة

v′₁ = −3,333 m/s

الإشارة السالبة تعني أن المنزلق الأول يرتد إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: F_avg = 630 N

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,35·(10 + 8) = 6,3 N·s

متوسط القوة

F_avg = J/Δt = 6,3/0,01 = 630 N

الإجابة

F_avg = 630 N

13.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 2,907 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(2,1/9,81) = 2,907 s

الإجابة

T = 2,907 s

14.النوابض والبندولات

الإجابة: E = 2,664 J

التردد الزاوي

ω = √(370/2,7) = 11,71 rad/s

الطاقة

E = ½·k·A² = ½·370·0,12² = 2,664 J

الإجابة

E = 2,664 J

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: m = 0,3571

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

معادلة العدسة الرقيقة

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/18

d_i = −6,429 cm

التكبير

m = −d_i/d_o = −(−6,429)/18 = 0,3571

الإجابة

m = 0,3571

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: θ₃ = 0,7735 °

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

شرط الهدب المظلم

sin θ = mλ/a = 0,0135

θ = 0,7735°

الإجابة

θ₃ = 0,7735°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics