الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تحتاج طائرة إلى سرعة 240 km/h للإقلاع وطول المدرج المتاح 1300 m. بدءًا من السكون، ما التسارع الثابت a الذي تحتاجه؟

v₀ = 0v = 240 km/hs = 1300 m

a = m/s²

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 13 m/s من حافة سطح يرتفع 40 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 13 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

كتلتان مقدارهما 6 kg و 4,5 kg معلّقتان على جانبي بكرة خفيفة عديمة الاحتكاك، موصولتان بخيط خفيف. يُترك النظام من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الكتلتين a.

m₁ = 6 kgm₂ = 4,5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 1,5 kg على منحدر يميل 20° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 4,5 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 4,5 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 55° فوق الأفق وتهبط على بعد 25 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 55°R = 25 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 30° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 15 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 30 m/sθ = 30°h = 15 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

سيارة كتلتها 1700 kg تمرّ فوق قمة نتوء في الطريق بسرعة 6 m/s. قمة النتوء قوس دائري نصف قطره 60 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها الطريق على السيارة عند القمة.

m = 1700 kgv = 6 m/sr = 60 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,3 kg مربوطة بخيط خفيف طوله 0,8 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة سرعتها 9 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T_top في الخيط عند أعلى نقطة.

m = 0,3 kgr = 0,8 mv_bottom = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 5 kg مسافة 5 m على منحدر يميل بزاوية 45° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,1. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 5 kgθ = 45°μ = 0,1d = 5 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

عربة كتلتها 5 kg تُترك من السكون على ارتفاع 6 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 1,5 m. أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.

m = 5 kgh = 6 mR = 1,5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 4,5 kg يتحرك بسرعة 6 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 3,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 4,5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 10 g أفقيًا في كتلة مقدارها 3 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 1,7 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 35° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 10 gM = 3 kgL = 1,7 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 3,3 kg على نابض k = 120 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 18 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 10 cm من موضع الاتزان.

m = 3,3 kgk = 120 N/mA = 18 cmx = 10 cm

v = m/s

14.النوابض والبندولاتصعبة

جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 0,7 s وسعة 6 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من أقصى إزاحة له 6 cm إلى إزاحة 2,4 cm؟

T = 0,7 sA = 6 cmx = 2,4 cm

t = s

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

يجب أن تقع التوافقية رقم 7 في أنبوب مغلق من طرف واحد عند 1501 Hz. سرعة الصوت 343 m/s. جد طول الأنبوب L.

v = 343 m/sn = 7f₇ = 1501 Hz

L = m

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

عدستان رقيقتان تتشاركان المحور وتبعد إحداهما عن الأخرى 25 cm: العدسة 1 بُعدها البؤري f₁ = 15 cm والعدسة 2 بُعدها البؤري f₂ = 20 cm. جسم على بعد 25 cm أمام العدسة 1. جد موضع d_i2 الصورة النهائية مقيسًا من العدسة 2 (موجب بعد العدسة 2، باصطلاح الحقيقية موجبة).

f₁ = 15 cmf₂ = 20 cms = 25 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: a = 1,709 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

الوحدات

v = 240/3,6 = 66,67 m/s

التسارع

a = v²/(2s) = 66,67²/(2·1300) = 1,709 m/s²

الإجابة

a = 1,709 m/s²

2.علم الحركة

الإجابة: t = 4,473 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−40 = 13·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 13·t − 40 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (13 + √(13² + 2·9,81·40))/9,81 = 4,473 s

الإجابة

t = 4,473 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 1,401 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

التسارع

القوة الدافعة المحصّلة هي الفرق بين الوزنين؛ وهي تحرّك الكتلة الكلية.

a = (6 − 4,5)·9,81/(6 + 4,5) = 1,401 m/s²

الإجابة

a = 1,401 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 6,173 m/s²

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 44,15 N

m₁·g·sin θ = 5,033 N

μ·m₁·g·cos θ = 2,074 N

تسارع النظام

a = (44,15 − 5,033 − 2,074)/6 = 6,173 m/s²

الإجابة

a = 6,173 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 16,16 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·25/sin 110°) = 16,16 m/s

الإجابة

v₀ = 16,16 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 100,1 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 30° = 25,98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 30° = 15 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 15 + 15·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15 + √(225 + 294,3))/9,81 = 3,852 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 25,98·3,852 = 100,1 m

الإجابة

x = 100,1 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: N = 15657 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوى عند القمة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأسفل) موجب.

m·g − N = m·v²/r

N = 1700·9,81 − 1700·6²/60 = 16677 − 1020 = 15657 N

الإجابة

N = 15657 N

تبدو السيارة أخفّ: يدفعها الطريق إلى الأعلى بأقل من وزنها.

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T_top = 15,66 N

السرعة عند القمة

تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع على ارتفاع 2r.

v_top² = 9² − 4·9,81·0,8 = 49,61 m²/s²

القوى عند القمة

الشدّ والجاذبية كلاهما يتجهان إلى الأسفل، نحو المركز.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,3·49,61/0,8 − 0,3·9,81 = 15,66 N

الإجابة

T_top = 15,66 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 17,34 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 49,05·0,7071 = 34,68 N

F = μN = 0,1·34,68 = 3,468 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 3,468·5 = 17,34 J

الإجابة

W_f = 17,34 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: N = 147,2 N

السرعة عند القمة

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(6 − 3) = 58,86 m²/s²

القوى عند القمة

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

N = mv²/R − mg = 5·58,86/1,5 − 49,05 = 147,2 N

الإجابة

N = 147,2 N

تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = 0,75 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (4,5 − 3,5)/(4,5 + 3,5)·6 = 0,75 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 3,5)·6 = 6,75 m/s

الإجابة

v′₁ = 0,75 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 739,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 1,7·(1 − cos 35°) = 0,3074 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,3074) = 2,456 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 3,01·2,456/0,01 = 739,3 m/s

الإجابة

v = 739,3 m/s

13.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 0,9025 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(120/3,3) = 6,03 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 6,03·√(0,18² − 0,1²) = 0,9025 m/s

الإجابة

v = 0,9025 m/s

14.النوابض والبندولات

الإجابة: t = 0,1292 s

التردد الزاوي

ω = 2π/T = 2π/0,7 = 8,976 rad/s

حلّ لإيجاد الزمن

0,4 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,4) = 1,159 rad

t = 1,159/8,976 = 0,1292 s

الإجابة

t = 0,1292 s

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: L = 0,3999 m

الموجات الموقوفة وأثر دوبلر: الوتر المثبت من الطرفين، أو الأنبوب المفتوح من الطرفين، يتسع لأنصاف أطوال موجية كاملة: L = nλ/2، f_n = n·v/(2L)، n = 1, 2, 3, … للأنبوب المغلق من طرف واحد عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح: L = nλ/4 مع n فردي فقط، f_n = n·v/(4L). عندما يتحرك المصدر أو المراقب على الخط الواصل بينهما، f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): استخدم الإشارات العليا للحركة الواحد نحو الآخر. موجتان متقاربتا التردد تُحدثان ضربات بتردد |f₁ − f₂|.

الطول الموجي

λ = v/f = 343/1501 = 0,2285 m

الطول

L = nλ/4 = 7·0,2285/4 = 0,3999 m

الإجابة

L = 0,3999 m

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: d_i2 = 7,692 cm

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

صورة العدسة 1

1/d_i1 = 1/15 − 1/25 → d_i1 = 37,5 cm

الجسم للعدسة 2

d_o2 = 25 − 37,5 = −12,5 cm

الصورة النهائية

1/d_i2 = 1/20 − 1/(−12,5) → d_i2 = 7,692 cm

الإجابة

d_i2 = 7,692 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics