الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 100 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 5,5 m/s² حتى تتوقف. كم يستغرق الكبح؟ أوجد t.

v₀ = 100 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

يبدأ ترام من السكون ويتسارع بمقدار 2,5 m/s² لمدة 8 s، ثم يسير بسرعة ثابتة لمدة 12 s، وأخيرًا يكبح بمقدار 4,5 m/s² حتى يتوقّف. أوجد المسافة الكلية s بين المحطّتين.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 8 st₂ = 12 sa₃ = −4,5 m/s²

s = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 14 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 25° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 14 kgθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسمان على أرضية مستوية موصولان بخيط أفقي خفيف. قوة أفقية مقدارها 125 N تسحب الجسم الأمامي ذا الكتلة 4 kg؛ ويُجرّ الجسم ذو الكتلة 2 kg خلفه. معامل الاحتكاك الحركي 0,2 للجسمين كليهما. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T في الخيط الواصل.

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgF = 125 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 20° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 32 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

t = s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 22 m/s وبزاوية 30° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 60 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد السرعة v التي ترتطم بها بالأرض.

v₀ = 22 m/sθ = 30°h = 60 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 130 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,8. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 130 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

عربة كتلتها 2 kg تُترك من السكون على ارتفاع 18,45 m على مسار عديم الاحتكاك وتمرّ بحلقة رأسية نصف قطرها 4,5 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N_top التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.

m = 2 kgh = 18,45 mR = 4,5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة كتلتها 1200 kg تصعد منحدرًا بزاوية 8° بسرعة ثابتة 90 km/h. مقاومة الهواء ومقاومة التدحرج معًا تبلغان 350 N. أوجد القدرة P التي يجب أن تعطيها العجلات، بوحدة kW.

m = 1200 kgθ = 8°F_r = 350 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.الشغل والطاقةصعبة

نابض صلابته 3000 N/m عند أسفل منحدر بزاوية 15° يُضغط بمقدار 12 cm أمام جسم كتلته 0,5 kg ثم يُترك. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,3. ما المسافة d التي يقطعها الجسم إلى أعلى المنحدر من نقطة الإطلاق قبل أن يتوقّف؟ (أهمل المسافة القصيرة التي يدفع خلالها النابض، أي خذ الاحتكاك والجاذبية على المسافة d كلها.)

m = 0,5 kgk = 3000 N/mx = 12 cmθ = 15°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

تُطلق رصاصة كتلتها 12 g أفقيًا في كتلة خشبية مقدارها 3 kg معلّقة بخيوط خفيفة، وتستقر داخلها. تتأرجح الكتلة إلى الأعلى حتى تصبح أعلى بمقدار 4 cm من البداية. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 12 gM = 3 kgh = 4 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

سيارة كتلتها 2000 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1600 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 23,5 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,7. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v₁ قبيل التصادم.

m₁ = 2000 kgm₂ = 1600 kgd = 23,5 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 1,4 m زمنه الدوري 5,84 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 1,4 mT = 5,84 s

g = m/s²

14.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 0,8 kg على نابض k = 60 N/m تُسحب 12 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى سرعة لها v_max.

m = 0,8 kgk = 60 N/mA = 12 cm

v_max = m/s

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

ينعكس الضوء داخل كتلة شفافة كليًا عند الحد الفاصل مع الهواء (n = 1,00) لكل زاوية سقوط تزيد على 30°. جد معامل انكسار الكتلة n₁.

θ_c = 30°n₂ = 1,00

n₁ =

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

يمر ضوء طوله الموجي 500 nm عبر شق مفرد عرضه 0,05 mm. جد عرض w النهاية العظمى المضيئة المركزية على شاشة تبعد 2 m (بين الهدبين المظلمين الأولين على الجانبين).

λ = 500 nma = 0,05 mmL = 2 m

w = mm

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 5,051 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

زمن الكبح

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27,78/5,5 = 5,051 s

الإجابة

t = 5,051 s

2.علم الحركة

الإجابة: s = 364,4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

السرعة القصوى

v = a₁·t₁ = 2,5·8 = 20 m/s

مسافة كل مرحلة

s₁ = ½·2,5·8² = 80 m

s₂ = 20·12 = 240 m

s₃ = 20²/(2·4,5) = 44,44 m

المسافة الكلية

s = 80 + 240 + 44,44 = 364,4 m

الإجابة

s = 364,4 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 1,479 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 25° − 0,3·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,2719) = 1,479 m/s²

الإجابة

a = 1,479 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 41,67 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

النظام كله

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (125 − 11,77)/6 = 18,87 m/s²

الجسم الخلفي وحده

T = m₁·(a + μ·g) = 2·(18,87 + 1,962) = 41,67 N

الإجابة

T = 41,67 N

مع μ نفسه للجسمين يختفي الاحتكاك: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 2,231 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 20° = 30,07 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 20° = 10,94 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·10,94/9,81 = 2,231 s

الإجابة

t = 2,231 s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: v = 40,76 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 22·cos 30° = 19,05 m/s

v_y0 = 22·sin 30° = 11 m/s

السرعة الرأسية عند الارتطام

الطاقة أو v² = v₀² + 2as في الاتجاه الرأسي.

v_y = √(11² + 2·9,81·60) = 36,03 m/s

سرعة الارتطام

v = √(19,05² + 36,03²) = 40,76 m/s

الإجابة

v = 40,76 m/s

تحقّق بالطاقة: v² = v₀² + 2gh.

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 31,94 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·130) = 31,94 m/s

الإجابة

v_max = 31,94 m/s (115 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: N_top = 62,78 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

السرعة من حفظ الطاقة

v² = 2·9,81·(18,45 − 2·4,5) = 185,4 m²/s²

القوى

الاتجاه نحو المركز موجب.

N = m·v²/R − m·g = 2·185,4/4,5 − 19,62 = 62,78 N

الإجابة

N_top = 62,78 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: P = 49,71 kW

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). القدرة هي القوة مضروبة في السرعة: P = F·v.

قوة الدفع

m·g = 1200·9,81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 8° = 1638 N

F = 1638 + 350 = 1988 N

القدرة

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 1988·25 = 49709 W = 49,71 kW

الإجابة

P = 49,71 kW

10.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 8,027 m

طاقة النابض

x = 12 cm = 0,12 m

½kx² = ½·3000·0,12² = 21,6 J

موازنة الطاقة على المنحدر

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 21,6/(4,905·(0,2588 + 0,3·0,9659)) = 8,027 m

الإجابة

d = 8,027 m

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 222,4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

التأرجح بعد الاصطدام

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,04) = 0,8859 m/s

تصادم

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 3)·0,8859/0,012 = 222,4 m/s

الإجابة

v = 222,4 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v₁ = 32,34 m/s

السرعة بعد التصادم

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·23,5) = 17,97 m/s

كمية الحركة في التصادم

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3600·17,97/2000 = 32,34 m/s

الإجابة

v₁ = 32,34 m/s

(116,4 km/h)

13.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 1,621 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,4/5,84² = 1,621 m/s²

الإجابة

g = 1,621 m/s²

14.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 1,039 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(60/0,8) = 8,66 rad/s

أقصى سرعة

v_max = A·ω = 0,12·8,66 = 1,039 m/s

الإجابة

v_max = 1,039 m/s

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: n₁ = 2

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

معامل انكسار الكتلة

n₁ = n₂/sin θc = 1,00/0,5 = 2

الإجابة

n₁ = 2

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: w = 40 mm

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

الهدب المظلم الأول

y₁ = λL/a = 500 × 10⁻⁹·2/(0,05 × 10⁻³) = 20 mm

عرض النهاية العظمى المركزية

w = 2y₁ = 40 mm

الإجابة

w = 40 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics