الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 45 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 5 m/s² حتى تتوقف. كم يستغرق الكبح؟ أوجد t.

v₀ = 45 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

يبدأ ترام من السكون ويتسارع بمقدار 2,5 m/s² لمدة 4 s، ثم يسير بسرعة ثابتة لمدة 23 s، وأخيرًا يكبح بمقدار 5 m/s² حتى يتوقّف. أوجد المسافة الكلية s بين المحطّتين.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 23 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

كتلتان مقدارهما 7,5 kg و 1,5 kg معلّقتان على جانبي بكرة خفيفة عديمة الاحتكاك، موصولتان بخيط خفيف. يُترك النظام من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 1,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.قوانين نيوتنصعبة

جسمان على أرضية مستوية موصولان بخيط أفقي خفيف. قوة أفقية مقدارها 60 N تسحب الجسم الأمامي ذا الكتلة 10 kg؛ ويُجرّ الجسم ذو الكتلة 11 kg خلفه. معامل الاحتكاك الحركي 0,1 للجسمين كليهما. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T في الخيط الواصل.

m₁ = 11 kgm₂ = 10 kgF = 60 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 45° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد أقصى ارتفاع H تبلغه الكرة.

v₀ = 10 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

H = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 38 m/s وبزاوية 65° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 10 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 38 m/sθ = 65°h_roof = 10 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 95 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 95 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,4 kg مربوطة بخيط خفيف طوله 0,5 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة سرعتها 8 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T_top في الخيط عند أعلى نقطة.

m = 0,4 kgr = 0,5 mv_bottom = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 45° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 16 m على المنحدر.

θ = 45°μ = 0,25d = 16 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 10 kg من السكون على ارتفاع 1 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 5 m (μ = 0,1) ثم يصطدم بنابض (k = 5000 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 10 kgh = 1 mL = 5 mμ = 0,1k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 2 kg يتحرك بسرعة 8 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 1,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 2 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 20 g أفقيًا في كتلة مقدارها 1,5 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 1,8 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 20° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 20 gM = 1,5 kgL = 1,8 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 2 m زمنه الدوري 6,98 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 2 mT = 6,98 s

g = m/s²

14.النوابض والبندولاتصعبة

جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 1,1 s وسعة 11 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من موضع الاتزان إلى إزاحة 2,75 cm؟

T = 1,1 sA = 11 cmx = 2,75 cm

t = s

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

يجب أن تقع التوافقية الأساسية (الأولى) في وتر مثبت من الطرفين عند 100 Hz؛ وتنتقل عليه الموجات بسرعة 300 m/s. جد طوله L.

v = 300 m/sn = 1f₁ = 100 Hz

L = m

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

لمحزوز حيود 1200 خطًا لكل ميليمتر. يسقط عليه ضوء طوله الموجي 550 nm بزاوية قائمة. ما أعلى رتبة m_max لنهاية عظمى مضيئة يمكن رؤيتها؟

N = 1200 mm⁻¹λ = 550 nm

m_max =

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 2,5 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

زمن الكبح

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12,5/5 = 2,5 s

الإجابة

t = 2,5 s

2.علم الحركة

الإجابة: s = 260 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

السرعة القصوى

v = a₁·t₁ = 2,5·4 = 10 m/s

مسافة كل مرحلة

s₁ = ½·2,5·4² = 20 m

s₂ = 10·23 = 230 m

s₃ = 10²/(2·5) = 10 m

المسافة الكلية

s = 20 + 230 + 10 = 260 m

الإجابة

s = 260 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 24,53 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

التسارع

القوة الدافعة المحصّلة هي الفرق بين الوزنين؛ وهي تحرّك الكتلة الكلية.

a = (7,5 − 1,5)·9,81/(7,5 + 1,5) = 6,54 m/s²

الشدّ من الكتلة الأخف

T − m₂·g = m₂·a → T = 1,5·(9,81 + 6,54) = 24,53 N

الإجابة

T = 24,53 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 31,43 N

النظام كله

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (60 − 20,6)/21 = 1,876 m/s²

الجسم الخلفي وحده

T = m₁·(a + μ·g) = 11·(1,876 + 0,981) = 31,43 N

الإجابة

T = 31,43 N

مع μ نفسه للجسمين يختفي الاحتكاك: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 2,548 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 45° = 7,071 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 45° = 7,071 m/s

أعلى نقطة

في القمة تكون السرعة الرأسية صفرًا: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 7,071²/(2·9,81) = 2,548 m

الإجابة

H = 2,548 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 107,9 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 16,06 m/s, v_y = 34,44 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

10 = 34,44·t − 4,905·t²

t = (34,44 + √(34,44² − 2·9,81·10))/9,81 = 6,718 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 16,06·6,718 = 107,9 m

الإجابة

x = 107,9 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 16,72 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·95) = 16,72 m/s

الإجابة

v_max = 16,72 m/s (60,19 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T_top = 31,58 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

السرعة عند القمة

تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع على ارتفاع 2r.

v_top² = 8² − 4·9,81·0,5 = 44,38 m²/s²

القوى عند القمة

الشدّ والجاذبية كلاهما يتجهان إلى الأسفل، نحو المركز.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,4·44,38/0,5 − 0,4·9,81 = 31,58 N

الإجابة

T_top = 31,58 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 12,9 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·16·(0,7071 − 0,25·0,7071)) = 12,9 m/s

الإجابة

v = 12,9 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 14,01 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 98,1·(1 − 0,1·5) = 49,05 J

أقصى انضغاط

½kx² = 49,05 → x = √(2·49,05/5000) = 0,1401 m = 14,01 cm

الإجابة

x = 14,01 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 9,143 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (2 − 1,5)/(2 + 1,5)·8 = 1,143 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1,5)·8 = 9,143 m/s

الإجابة

v′₂ = 9,143 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 110,9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 1,8·(1 − cos 20°) = 0,1086 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,1086) = 1,459 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 1,52·1,459/0,02 = 110,9 m/s

الإجابة

v = 110,9 m/s

13.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 1,621 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/6,98² = 1,621 m/s²

الإجابة

g = 1,621 m/s²

14.النوابض والبندولات

الإجابة: t = 0,04424 s

التردد الزاوي

ω = 2π/T = 2π/1,1 = 5,712 rad/s

حلّ لإيجاد الزمن

0,25 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,25) = 0,2527 rad

t = 0,2527/5,712 = 0,04424 s

الإجابة

t = 0,04424 s

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: L = 1,5 m

الموجات الموقوفة وأثر دوبلر: الوتر المثبت من الطرفين، أو الأنبوب المفتوح من الطرفين، يتسع لأنصاف أطوال موجية كاملة: L = nλ/2، f_n = n·v/(2L)، n = 1, 2, 3, … للأنبوب المغلق من طرف واحد عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح: L = nλ/4 مع n فردي فقط، f_n = n·v/(4L). عندما يتحرك المصدر أو المراقب على الخط الواصل بينهما، f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): استخدم الإشارات العليا للحركة الواحد نحو الآخر. موجتان متقاربتا التردد تُحدثان ضربات بتردد |f₁ − f₂|.

الطول الموجي

λ = v/f = 300/100 = 3 m

الطول

L = nλ/2 = 1·3/2 = 1,5 m

الإجابة

L = 1,5 m

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: m_max = 1

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

تباعد الخطوط

d = 1/1200 mm = 0,8333 µm

أعلى رتبة

m ≤ d/λ = 0,8333 µm/0,55 µm = 1,515 → m_max = 1

الإجابة

m_max = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics