الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة مسرعة بسرعة ثابتة 21 m/s تمرّ بسيارة شرطة متوقّفة. في تلك اللحظة تنطلق سيارة الشرطة وتتسارع بانتظام بمقدار 4 m/s². كم تستغرق سيارة الشرطة لتلحق بها؟ أوجد t.

v_car = 21 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

يُسقَط حجر من السكون في بئر. يُسمع صوت ارتطامه بالماء بعد 2,5 s من إفلاته. سرعة الصوت 343 m/s؛ أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد عمق البئر d.

t_total = 2,5 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 2 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 20° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 2 kgθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 6,5 kg على منحدر يميل 30° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 10 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 10 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 14 m/s ويجب أن تهبط على بعد 10 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 14 m/sR = 10 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 20° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 55 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 27 m/sθ = 20°h = 55 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 105 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 105 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 210 m مائل بزاوية 18°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أدنى سرعة v_min يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى أسفل الميل.

r = 210 mθ = 18°μ_s = 0,25g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 90 km/h على طريق مستوٍ تكبح بقوة وتنزلق حتى تتوقّف وعجلاتها مقفلة. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,4. أوجد مسافة التوقّف d.

v = 90 km/hμ = 0,4g = 9,81 m/s²

d = m

10.الشغل والطاقةصعبة

نابض صلابته 1000 N/m عند أسفل منحدر بزاوية 20° يُضغط بمقدار 12 cm أمام جسم كتلته 3 kg ثم يُترك. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,2. ما المسافة d التي يقطعها الجسم إلى أعلى المنحدر من نقطة الإطلاق قبل أن يتوقّف؟ (أهمل المسافة القصيرة التي يدفع خلالها النابض، أي خذ الاحتكاك والجاذبية على المسافة d كلها.)

m = 3 kgk = 1000 N/mx = 12 cmθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 4 kg يتحرك بسرعة 11 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 4 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,4 kg تصطدم بجدار بسرعة 19 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 12 m/s. يدوم التلامس 10 ms. أوجد مقدار الدفع J الذي يعطيه الجدار للكرة.

m = 0,4 kgv_in = 19 m/sv_out = 12 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 2,6 kg على نابض k = 420 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 20 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 11 cm من موضع الاتزان.

m = 2,6 kgk = 420 N/mA = 20 cmx = 11 cm

v = m/s

14.النوابض والبندولاتصعبة

رصاصة كتلتها 20 g تتحرّك بسرعة 150 m/s تصطدم بكتلة مقدارها 1,5 kg ساكنة على سطح أملس وتستقر فيها. الكتلة موصولة بنابض أفقي k = 1500 N/m. أوجد سعة الاهتزاز الناتج A بوحدة cm.

m = 20 gv = 150 m/sM = 1,5 kgk = 1500 N/m

A = cm

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

أنبوب مفتوح الطرفين طوله 1,5 m. سرعة الصوت 343 m/s. جد التردد f₁ عند التوافقية الأساسية (الأولى).

v = 343 m/sn = 1L = 1,5 m

f₁ = Hz

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

يمر ضوء طوله الموجي 650 nm عبر شق مفرد عرضه 0,12 mm. جد زاوية θ₁ الهدب المظلم رقم 1 عن اتجاه المرور المستقيم.

λ = 650 nma = 0,12 mmm = 1

θ₁ = °

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 10,5 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

تساوي المسافتين

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·21/4 = 10,5 s

الإجابة

t = 10,5 s

في تلك اللحظة تتحرّك سيارة الشرطة بسرعة 2v = 42 m/s.

2.علم الحركة

الإجابة: d = 28,64 m

جزآن من الزمن

½·9,81·t₁² = 343·(2,5 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 857,5 = 0

زمن السقوط

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·857,5))/(2·4,905) = 2,416 s

العمق

d = ½·9,81·2,416² = 28,64 m

الإجابة

d = 28,64 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 1,051 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 20° − 0,25·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,2349) = 1,051 m/s²

الإجابة

a = 1,051 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 61,31 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 98,1 N

m₁·g·sin θ = 31,88 N

μ·m₁·g·cos θ = 5,522 N

تسارع النظام

a = (98,1 − 31,88 − 5,522)/16,5 = 3,679 m/s²

الشدّ من الكتلة المعلّقة

m₂·g − T = m₂·a → T = 10·(9,81 − 3,679) = 61,31 N

الإجابة

T = 61,31 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 15,02 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·10/14² = 0,5005

الزاوية

2θ = 30,03° → θ = 15,02°

الإجابة

θ = 15,02°

الحل الآخر 90° − θ = 74,98°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 112,1 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 20° = 25,37 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 20° = 9,235 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 55 + 9,235·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,235 + √(85,28 + 1079))/9,81 = 4,42 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 25,37·4,42 = 112,1 m

الإجابة

x = 112,1 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 22,69 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·105) = 22,69 m/s

الإجابة

v_max = 22,69 m/s (81,7 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 11,95 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أعلى المنحدر.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(210·9,81·0,07125/1,028) = 11,95 m/s

الإجابة

v_min = 11,95 m/s

(43,01 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 79,64 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

السرعة بالوحدات الأساسية

v = 90/3,6 = 25 m/s

موازنة الطاقة

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0,4·9,81) = 79,64 m

الإجابة

d = 79,64 m

مضاعفة السرعة تجعل مسافة التوقّف أطول بأربع مرات.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 0,4616 m

طاقة النابض

x = 12 cm = 0,12 m

½kx² = ½·1000·0,12² = 7,2 J

موازنة الطاقة على المنحدر

m·g = 3·9,81 = 29,43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 7,2/(29,43·(0,342 + 0,2·0,9397)) = 0,4616 m

الإجابة

d = 0,4616 m

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 10,35 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (4 − 4,5)/(4 + 4,5)·11 = −0,6471 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 4,5)·11 = 10,35 m/s

الإجابة

v′₂ = 10,35 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: J = 12,4 N·s

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,4·(12 + 19) = 12,4 N·s

الإجابة

J = 12,4 N·s

13.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 2,123 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(420/2,6) = 12,71 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 12,71·√(0,2² − 0,11²) = 2,123 m/s

الإجابة

v = 2,123 m/s

14.النوابض والبندولات

الإجابة: A = 6,283 cm

السرعة بعد الاصطدام

V = m·v/(m + M) = 0,02·150/1,52 = 1,974 m/s

التردد الزاوي

ω = √(k/(m + M)) = √(1500/1,52) = 31,41 rad/s

السعة

A = V/ω = 1,974/31,41 = 0,06283 m = 6,283 cm

الإجابة

A = 6,283 cm

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: f₁ = 114,3 Hz

الموجات الموقوفة وأثر دوبلر: الوتر المثبت من الطرفين، أو الأنبوب المفتوح من الطرفين، يتسع لأنصاف أطوال موجية كاملة: L = nλ/2، f_n = n·v/(2L)، n = 1, 2, 3, … للأنبوب المغلق من طرف واحد عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح: L = nλ/4 مع n فردي فقط، f_n = n·v/(4L). عندما يتحرك المصدر أو المراقب على الخط الواصل بينهما، f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): استخدم الإشارات العليا للحركة الواحد نحو الآخر. موجتان متقاربتا التردد تُحدثان ضربات بتردد |f₁ − f₂|.

الطول الموجي لهذا النمط

λ = 2L/n = 2·1,5/1 = 3 m

التردد

f = v/λ = 343/3 = 114,3 Hz

الإجابة

f₁ = 114,3 Hz

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: θ₁ = 0,3104 °

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

شرط الهدب المظلم

sin θ = mλ/a = 0,005417

θ = 0,3104°

الإجابة

θ₁ = 0,3104°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics