الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم
F = k·|q1q2|/r²
مجال شحنة نقطية
E = k·|q|/r²
الثابت
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة
F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي
Req = R1 + R2 + …
مقاومات على التوازي
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
مقاومتان على التوازي
Req = R1R2 / (R1 + R2)
قانون أوم
V = I·R
القدرة
P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

  1. ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
  2. اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
  4. كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ

الطريقة

  1. أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
  2. أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
  3. أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
  4. استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل
B = μ0I/(2πr)
مركز ملف مسطح
B = μ0NI/(2R)
ملف لولبي طويل
B = μ0nI, n = N/L
الثابت
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك
F = BIL·sin θ
القوة على شحنة
F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية
F/L = μ0I1I2/(2πd)
التدفق
Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي
ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك
ε = BLv
مولّد
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
المحاثّة
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
منتقي السرعة والمطياف
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

  1. حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
  2. اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
  3. للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
  4. جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
التردد الزاوي
ω = 2πf
المقدار والزاوية
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات
V = I·Z

الطريقة

  1. حوّل التردد: ω = 2πf.
  2. أوجد كل ممانعة مفاعلة: XL = ωL و XC = 1/(ωC).
  3. اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
  4. أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة
++1 µC++8 µCP10 cm

شحنة مقدارها +1 µC وشحنة مقدارها +8 µC تفصل بينهما مسافة 10 cm. تقع النقطة P على الخط الواصل بينهما، على بعد 5 cm من الشحنة الأولى. أوجد مقدار المجال الكهربائي E عند P.

q1 = +1 µCq2 = +8 µCr1 = 5 cmr2 = 5 cm
E = N/C
2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة
+ + + + + +− − − − − −e⁻5 × 10⁷ m/s6 cmE = 3000 N/C

يدخل إلكترون المجال المنتظم بين لوحين متوازيين متحرّكًا موازيًا لهما بسرعة 5 × 10⁷ m/s. طول اللوحين 6 cm والمجال بينهما 3000 N/C. شحنة الإلكترون 1,602 × 10⁻¹⁹ C، وكتلته 9,109 × 10⁻³¹ kg؛ أهمل الجاذبية. ما مقدار انحرافه الجانبي y عندما يغادر اللوحين؟ أعطِ الإجابة بوحدة mm.

v₀ = 5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 3000 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩIR2​AR4​8 ΩB

أوجد التيار IR2 عبر R2.

V1 = 18 VR1 = 8 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة
R1​ = 8 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩIR2​AR4​30 ΩBR6​25 Ω

أوجد التيار IR2 عبر R2.

V1 = 18 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩR4 = 30 ΩR5 = 6 ΩR6 = 25 Ω
IR2 = A
5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
+−Vs​9 Vt = 0R = 33 ΩL100 mHi(t)

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد التيار i عند t = 5 ms.

Vs = 9 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms
i = A
6.الحالات العابرة RC و RLصعبة
+−Vs​6 Vt = 0R = 1 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 30 V بالقطبية الموضّحة. أوجد جهد المكثّف vC عند t = 200 ms.

Vs = 6 VR = 1 kΩC = 220 µFvC(0) = 30 Vt = 200 ms
vC = V
7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة
12 A8 Ad = 12 cm

سلكان متوازيان طويلان يبعد أحدهما عن الآخر 12 cm يحملان تيارين قدرهما 12 A و 8 A في اتجاهين متعاكسين. جد القوة لكل متر من الطول F/L بينهما.

I1 = 12 AI2 = 8 Ad = 12 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة
Bn = 1800 rpm12 cm × 10 cmN = 100B = 0,4 T

ملف من 100 لفة أبعاده 12 cm × 10 cm يدور بسرعة 1800 rpm في مجال منتظم قدره 0,4 T حول محور عمودي على المجال. جد القيمة الفعالة Erms للق.د.ك.

N = 100A = 12 cm × 10 cmB = 0,4 Tn = 1800 rpm
Erms = V
9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
10 V60 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 10 V (فعّال)، 60 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF
φ = °
10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
10 Vf0​R = 50 ΩL = 5 mHC = 0,22 µF

دائرة RLC على التوالي يغذّيها مصدر 10 V (فعّال) ضُبط تردّده على تردّد رنين الدائرة. أوجد الجهد الفعّال VL على الملف.

V = 10 V (rms)R = 50 ΩL = 5 mHC = 0,22 µF
VL = V

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: E = 2,517 × 10⁷ N/C

قانون كولوم: تتجاذب شحنتان نقطيتان أو تتنافران بقوة F = k·|q₁·q₂|/r²، حيث k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². مجال الشحنة النقطية E = k·|q|/r²، ويتجه بعيدًا عن الشحنة الموجبة ونحو الشحنة السالبة. القوى والمجالات الناتجة عن عدة شحنات تُجمع جمعًا متجهيًا.

مجال كل شحنة

E1 = k·1 × 10⁻⁶/0,05² = 3,596 × 10⁶ N/C
E2 = k·8 × 10⁻⁶/0,05² = 2,877 × 10⁷ N/C

الاتجاهات والمجموع

الشحنتان موجبتان: عند P يتجه مجال كل منهما بعيدًا عنها، أي في اتجاهين متعاكسين.

E = |3,596 × 10⁶ − 2,877 × 10⁷| = 2,517 × 10⁷ N/C

الإجابة

E = 2,517 × 10⁷ N/C
2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: y = 0,3799 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

الزمن بين اللوحين

t = L/v₀ = 0,06/5 × 10⁷ = 1,2 × 10⁻⁹ s

التسارع الجانبي

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3000/9,109 × 10⁻³¹ = 5,276 × 10¹⁴ m/s²

الترخيم

y = ½·a·t² = ½·5,276 × 10¹⁴·(1,2 × 10⁻⁹)² = 0,0003799 m = 0,3799 mm

الإجابة

y = 0,3799 mm

يُدفع الإلكترون نحو اللوح الموجب، عكس اتجاه المجال.

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: IR2 = 1,459 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​8 ΩB

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R3 + R4 = 10 + 8 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 3·18/(3+18) = 2,571 Ω
Req = R1 + 2,571 = 8 + 2,571 = 10,57 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

IR1 = V1/Req = 18/10,57 = 1,703 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1,703·8 = 4,378 V
IR2 = VA/R2 = 4,378/3 = 1,459 A

الإجابة

IR2 = 1,459 A
4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: IR2 = 1,378 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 8 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAR4​30 ΩBR6​25 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R5 + R6 = 6 + 25 = 31 Ω
R4 ∥ 31 = 15,25 Ω
R3 + 15,25 = 30,25 Ω
R2 ∥ 30,25 = 3,533 Ω
Req = R1 + 3,533 = 8 + 3,533 = 11,53 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

IR1 = V1/Req = 18/11,53 = 1,561 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1,561·8 = 5,514 V
IR2 = VA/R2 = 5,514/4 = 1,378 A

الإجابة

IR2 = 1,378 A
5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 0,2204 A

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3,03 ms
i(∞) = Vs/R = 9/33 = 0,2727 A

التيار في اللحظة المعطاة

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,2727·(1 − e−5/3,03) = 0,2204 A

الإجابة

i = 0,2204 A
6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: vC = 15,67 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms
vC(t) = 6 + (30 − 6)·e−t/τ

الجهد في اللحظة المعطاة

vC(200) = 6 + (24)·e−200/220 = 15,67 V

الإجابة

vC = 15,67 V
7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: F/L = 160 µN/m

القوى المغناطيسية: يتأثر سلك مستقيم يحمل I في مجال B بالقوة F = BIL·sin θ، وتتأثر شحنة متحركة بالقوة F = |q|vB·sin θ، حيث θ الزاوية بين التيار (أو السرعة) و B. القوة عمودية على كليهما: وجّه أصابع اليد اليمنى مع I أو v، ولُفّها نحو B، فيعطي الإبهام F لشحنة موجبة؛ واعكس لشحنة سالبة. ولأن F عمودية على v، تتحرك شحنة تعبر مجالًا منتظمًا على دائرة: |q|vB = mv²/r يعطي r = mv/(|q|B) والدور T = 2πm/(|q|B)، الذي لا يعتمد على السرعة. يتجاذب سلكان متوازيان لتيارين في الاتجاه نفسه: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

القوة لكل متر

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·12·8/0,12 = 160 µN/m

الإجابة

F/L = 160 µN/m

التيارات في اتجاهين متعاكسين تتنافر.

8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: Erms = 63,98 V

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

السرعة الزاوية والمساحة

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
A = 0,012 m²

ق.د.ك العظمى

E₀ = NBAω = 100·0,4·0,012·188,5 = 90,48 V

القيمة الفعالة

Erms = 90,48/√2 = 63,98 V

الإجابة

Erms = 63,98 V
9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: φ = −83,26 °

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (−507,8)²) = 511,4 Ω

زاوية الطور

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−507,8/60) = −83,26°

الإجابة

φ = −83,26°
10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: VL = 30,15 V

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

الرنين

عند الرنين تُلغى المفاعلتان، لذا المعاوقة هي R فقط.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,22·10⁻⁶) = 30151 rad/s
I = V/R = 10/50 = 0,2 A

الجهد على الملف

XL = ω₀L = 30151·0,005 = 150,8 Ω
VL = I·XL = 0,2·150,8 = 30,15 V

الإجابة

VL = 30,15 V

هذا Q = 3,015 مرة جهد المصدر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism