الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم: F = k·|q₁q₂|/r²
مجال شحنة نقطية: E = k·|q|/r²
الثابت: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة: F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل: B = μ₀I/(2πr)
مركز ملف مسطح: B = μ₀NI/(2R)
ملف لولبي طويل: B = μ₀nI, n = N/L
الثابت: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك: F = BIL·sin θ
القوة على شحنة: F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
التدفق: Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي: ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك: ε = BLv
مولّد: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
المحاثّة: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
منتقي السرعة والمطياف: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة

شحنتان مقدارهما +1 µC و +2 µC تبعد إحداهما عن الأخرى 40 cm. على أيّ بعد x من الشحنة +1 µC، على الخط بينهما، يكون المجال الكهربائي صفرًا؟

q₁ = +1 µCq₂ = +2 µCd = 40 cm

x = cm

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة

شحنتان مقدارهما +2 µC و −2 µC تبعد إحداهما عن الأخرى 6 cm. تقع النقطة P على بعد 12 cm من منتصف المسافة بينهما، على المنصّف العمودي. أوجد مقدار المجال الكهربائي E عند P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = −2 µCd = 6 cmh = 12 cm

E = N/C

3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد التيار I_R1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد التيار I_R2 عبر R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد الجهد v_L على الملف عند t = 1 ms.

V_s = 24 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

6.الحالات العابرة RC و RLصعبة

يبدأ مؤقّت بشحن مكثّف غير مشحون عبر مقاومة من مصدر 15 V عند t = 0. يجب أن يُطلق عندما يبلغ جهد المكثّف 7,5 V، بعد 250 ms بالضبط من البداية. مع R = 100 kΩ، أوجد السعة C المطلوبة.

V_s = 15 VV_th = 7,5 VT = 250 msR = 100 kΩ

C = µF

7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة

يتحرك بروتون بسرعة 2,5 × 10⁶ m/s عموديًا على مجال مغناطيسي منتظم قدره 0,5 T. جد نصف القطر r لمساره الدائري.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁶ m/sB = 0,5 T

r = cm

8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة

يمر بروتون دون انحراف عبر منتقي سرعة بمجالين متعامدين E = 2 × 10⁴ V/m و B₁ = 0,1 T. ثم يدخل منطقة ثانية فيها مجال مغناطيسي فقط B₂ = 1 T، بزاوية قائمة. جد نصف القطر r لمساره هناك.

E = 2 × 10⁴ V/mB₁ = 0,1 TB₂ = 1 Tm = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 10 V (فعّال)، 1000 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

I = A

10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 230 V (فعّال)، 500 Hz. أوجد تردّد الرنين f₀ للدائرة.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF

f₀ = Hz

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: x = 16,57 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

تساوي المجالين

1/x² = 2/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(2/1) = 1,414

الموضع

x = 40/(1 + 1,414) = 16,57 cm

الإجابة

x = 16,57 cm

نقطة الصفر دائمًا أقرب إلى الشحنة الأصغر.

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: E = 570038 N/C

المسافة ومجال شحنة واحدة

r = √(3² + 12²) = 12,37 cm

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,1237² = 1,175 × 10⁶ N/C

المركّبات

تُلغى المركّبات على امتداد المنصّف.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1,175 × 10⁶·0,2425 = 570038 N/C

الإجابة

E = 570038 N/C

يتجه المجال موازيًا للخط من الشحنة الموجبة نحو الشحنة السالبة.

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R1 = 1,152 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 3 + 4 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 12·7/(12+7) = 4,421 Ω

R_eq = R₁ + 4,421 = 6 + 4,421 = 10,42 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/10,42 = 1,152 A

الإجابة

I_R1 = 1,152 A

4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R2 = 0,4362 A

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 4 + 8 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 4,8 Ω

R₃ + 4,8 = 7,8 Ω

R₂ ∥ 7,8 = 6,19 Ω

R_eq = R₁ + 6,19 = 8 + 6,19 = 14,19 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/14,19 = 2,114 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2,114·8 = 13,09 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13,09/30 = 0,4362 A

الإجابة

I_R2 = 0,4362 A

5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_L = 0,1617 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms

i(∞) = V_s/R = 24/50 = 0,48 A

جهد الملف

عند t = 0 يظهر كامل جهد المصدر على الملف؛ ثم يضمحل إلى الصفر.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 24·e^−1/0,2 = 0,1617 V

الإجابة

v_L = 0,1617 V

6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: C = 3,607 µF

الثابت الزمني المطلوب

7,5 = 15·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(15/(15 − 7,5))

τ = 250/0,6931 = 360,7 ms

السعة

kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.

C = τ/R = 360,7/100 = 3,607 µF

الإجابة

C = 3,607 µF

7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: r = 5,222 cm

القوى المغناطيسية: يتأثر سلك مستقيم يحمل I في مجال B بالقوة F = BIL·sin θ، وتتأثر شحنة متحركة بالقوة F = |q|vB·sin θ، حيث θ الزاوية بين التيار (أو السرعة) و B. القوة عمودية على كليهما: وجّه أصابع اليد اليمنى مع I أو v، ولُفّها نحو B، فيعطي الإبهام F لشحنة موجبة؛ واعكس لشحنة سالبة. ولأن F عمودية على v، تتحرك شحنة تعبر مجالًا منتظمًا على دائرة: |q|vB = mv²/r يعطي r = mv/(|q|B) والدور T = 2πm/(|q|B)، الذي لا يعتمد على السرعة. يتجاذب سلكان متوازيان لتيارين في الاتجاه نفسه: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

موازنة القوى

القوة المغناطيسية عمودية دائمًا على السرعة، لذا تحني المسار إلى دائرة.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

نصف القطر

r = 1,673 × 10⁻²⁷·2,5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,5) = 0,05222 m = 5,222 cm

الإجابة

r = 5,222 cm

8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: r = 0,2089 cm

السرعة المنتقاة

دون انحراف: القوة الكهربائية qE توازن القوة المغناطيسية qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁴/0,1 = 200000 m/s

نصف القطر في المجال الثاني

r = mv/(|q|B₂) = 0,002089 m = 0,2089 cm

الإجابة

r = 0,2089 cm

9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,1698 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (53,32)²) = 58,89 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 10/58,89 = 0,1698 A

الإجابة

I = 0,1698 A

10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: f₀ = 239,9 Hz

الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC). تردّد المصدر لا يهم.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·2,2·10⁻⁶)) = 239,9 Hz

الإجابة

f₀ = 239,9 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism