الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم: F = k·|q₁q₂|/r²
مجال شحنة نقطية: E = k·|q|/r²
الثابت: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة: F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل: B = μ₀I/(2πr)
مركز ملف مسطح: B = μ₀NI/(2R)
ملف لولبي طويل: B = μ₀nI, n = N/L
الثابت: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك: F = BIL·sin θ
القوة على شحنة: F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
التدفق: Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي: ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك: ε = BLv
مولّد: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
المحاثّة: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
منتقي السرعة والمطياف: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة

كرتان معدنيتان صغيرتان متماثلتان تحملان شحنتين مقدارهما −2 µC و −3 µC. تُلامَسان ثم تُعادان إلى مسافة 25 cm بينهما. أوجد مقدار القوة F بينهما الآن. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −2 µCq₂ = −3 µCr = 25 cm

F = N

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة

شحنتان مقدارهما +2 µC و −2 µC تبعد إحداهما عن الأخرى 10 cm. تقع النقطة P على بعد 10 cm من منتصف المسافة بينهما، على المنصّف العمودي. أوجد مقدار المجال الكهربائي E عند P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = −2 µCd = 10 cmh = 10 cm

E = N/C

3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد التيار I_R1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد التيار I_R1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R₁.

V₁ = 5 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

يشحن المصدر Vₛ المكثّف عبر R₁، و R₂ موصول على التوازي مع C. المكثّف غير مشحون عندما يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد جهد المكثّف v_C عند t = 150 ms.

V_s = 12 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 1 kΩC = 68 µFt = 150 ms

v_C = V

6.الحالات العابرة RC و RLصعبة

قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 5 V بالقطبية الموضّحة. أوجد جهد المكثّف v_C عند t = 100 ms.

V_s = 10 VR = 2,2 kΩC = 22 µFv_C(0) = 5 Vt = 100 ms

v_C = V

7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة

ملف من 20 لفة ومساحته 80 cm² ومقاومته 2 Ω يشكّل دارة مغلقة. مجال منتظم عمودي على الملف يرتفع بانتظام من 0,05 T إلى 0,25 T خلال 50 ms. جد متوسط التيار المحثوث I.

N = 20A = 80 cm²B: 0,05 T → 0,25 TΔt = 50 msR = 2 Ω

I = mA

8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة

ملف من 20 لفة أبعاده 10 cm × 5 cm يدور في مجال منتظم قدره 0,05 T حول محور عمودي على المجال. بأي سرعة n (بالدورات في الدقيقة) يجب أن يدور ليعطي ق.د.ك فعالة (rms) قدرها 0,5554 V؟

N = 20A = 10 cm × 5 cmB = 0,05 TE_rms = 0,5554 V

n = rpm

9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 100 V (فعّال)، 60 Hz. أوجد معامل القدرة cos φ للدائرة.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 100 µF

cos φ =

10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 24 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 100 µF

I = A

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: F = 0,899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

الشحنة بعد التلامس

q′ = (−2 + −3)/2 = −2,5 µC

القوة الجديدة

F = 8,99 × 10⁹·(2,5 × 10⁻⁶)²/0,25² = 0,899 N

الإجابة

F = 0,899 N

الكرتان الآن لهما الإشارة نفسها، لذا تتنافران.

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: E = 1,287 × 10⁶ N/C

المسافة ومجال شحنة واحدة

r = √(5² + 10²) = 11,18 cm

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,1118² = 1,438 × 10⁶ N/C

المركّبات

تُلغى المركّبات على امتداد المنصّف.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1,438 × 10⁶·0,4472 = 1,287 × 10⁶ N/C

الإجابة

E = 1,287 × 10⁶ N/C

يتجه المجال موازيًا للخط من الشحنة الموجبة نحو الشحنة السالبة.

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R1 = 0,5938 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 20 + 3 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 2·23/(2+23) = 1,84 Ω

R_eq = R₁ + 1,84 = 15 + 1,84 = 16,84 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/16,84 = 0,5938 A

الإجابة

I_R1 = 0,5938 A

4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R1 = 0,604 A

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 12 + 30 = 42 Ω

R₄ ∥ 42 = 4,468 Ω

R₃ + 4,468 = 9,468 Ω

R₂ ∥ 9,468 = 2,278 Ω

R_eq = R₁ + 2,278 = 6 + 2,278 = 8,278 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/8,278 = 0,604 A

الإجابة

I_R1 = 0,604 A

5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_C = 1,416 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

مكافئ ثيفينين كما يراه المكثّف

اقصر المصدر لإيجاد R_th؛ وافتح المكثّف لإيجاد الجهد الذي سيستقر عنده.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·1/(6,8 + 1) = 0,8718 kΩ

v_C(∞) = 12·1/(6,8 + 1) = 1,538 V

الثابت الزمني

τ = R_th·C = 0,8718·68 = 59,28 ms

منحنى الشحن

v_C(t) = 1,538·(1 − e^−150/59,28) = 1,416 V

الإجابة

v_C = 1,416 V

6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_C = 9,367 V

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 22 µF = 48,4 ms

v_C(t) = 10 + (5 − 10)·e^−t/τ

الجهد في اللحظة المعطاة

v_C(100) = 10 + (−5)·e^−100/48,4 = 9,367 V

الإجابة

v_C = 9,367 V

7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: I = 320 mA

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

تغير التدفق لكل لفة

ΔΦ = (0,25 − 0,05)·0,008 = 0,0016 Wb

متوسط ق.د.ك

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,0016/0,05 = 0,64 V

التيار

I = ε/R = 0,64/2 = 0,32 A

الإجابة

I = 320 mA

8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: n = 1500 rpm

ق.د.ك العظمى

E₀ = √2·E_rms = 0,7855 V

السرعة الزاوية

ω = E₀/(NBA) = 0,7855/(20·0,05·0,005) = 157,1 rad/s

الدورات في الدقيقة

n = 60·157,1/(2π) = 1500 rpm

الإجابة

n = 1500 rpm

9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: cos φ = 0,2934

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

X_L = 75,4 Ω, X_C = 26,53 Ω

المعاوقة

|Z| = √(15² + (48,87)²) = 51,12 Ω

معامل القدرة

cos φ = R/|Z| = 15/51,12 = 0,2934

الدائرة حثية، لذا معامل القدرة متأخّر.

الإجابة

cos φ = 0,2934

10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,2023 A

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (117,7)²) = 118,7 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 24/118,7 = 0,2023 A

الإجابة

I = 0,2023 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism