الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم
F = k·|q1q2|/r²
مجال شحنة نقطية
E = k·|q|/r²
الثابت
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة
F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي
Req = R1 + R2 + …
مقاومات على التوازي
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
مقاومتان على التوازي
Req = R1R2 / (R1 + R2)
قانون أوم
V = I·R
القدرة
P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

  1. ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
  2. اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
  4. كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ

الطريقة

  1. أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
  2. أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
  3. أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
  4. استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل
B = μ0I/(2πr)
مركز ملف مسطح
B = μ0NI/(2R)
ملف لولبي طويل
B = μ0nI, n = N/L
الثابت
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك
F = BIL·sin θ
القوة على شحنة
F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية
F/L = μ0I1I2/(2πd)
التدفق
Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي
ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك
ε = BLv
مولّد
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
المحاثّة
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
منتقي السرعة والمطياف
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

  1. حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
  2. اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
  3. للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
  4. جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
التردد الزاوي
ω = 2πf
المقدار والزاوية
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات
V = I·Z

الطريقة

  1. حوّل التردد: ω = 2πf.
  2. أوجد كل ممانعة مفاعلة: XL = ωL و XC = 1/(ωC).
  3. اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
  4. أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة
++10 µC++3 µCP30 cm

شحنة مقدارها +10 µC وشحنة مقدارها +3 µC تفصل بينهما مسافة 30 cm. تقع النقطة P على الخط الواصل بينهما، على بعد 22,5 cm من الشحنة الأولى. أوجد مقدار المجال الكهربائي E عند P.

q1 = +10 µCq2 = +3 µCr1 = 22,5 cmr2 = 7,5 cm
E = N/C
2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة
L = 60 cm8°qq

كرتان صغيرتان متماثلتان، كتلة كلٍّ منهما 5 g، معلّقتان من النقطة نفسها بخيطين عازلين طولهما 60 cm. تُعطيان شحنتين متساويتين فيستقر كل خيط عند 8° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشحنة q على كل كرة بوحدة nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 60 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة
R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​8 ΩB

أوجد المقاومة المكافئة Req التي يراها المصدر V1.

V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 ΩR4 = 8 Ω
Req = Ω
4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة
R1​ = 25 ΩIR1​R3​ = 4 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAR4​4 ΩBR6​20 Ω

أوجد التيار IR1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R1.

V1 = 9 VR1 = 25 ΩR2 = 20 ΩR3 = 4 ΩR4 = 4 ΩR5 = 2 ΩR6 = 20 Ω
IR1 = A
5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
+−Vs​15 Vt = 0R1​ = 10 kΩR2​ = 2,2 kΩC22 µF+−vC​

يشحن المصدر Vₛ المكثّف عبر R₁، و R₂ موصول على التوازي مع C. المكثّف غير مشحون عندما يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد جهد المكثّف vC عند t = 100 ms.

Vs = 15 VR1 = 10 kΩR2 = 2,2 kΩC = 22 µFt = 100 ms
vC = V
6.الحالات العابرة RC و RLصعبة
+−Vs​9 VR1​ = 20 ΩR2​ = 15 Ωيُغلق عند t = 0L47 mHi(t)

المفتاح الموصول على طرفي R2 مفتوح منذ وقت طويل، لذا تيار الملف مستقر. عند t = 0 يُغلق المفتاح ويقصر R2. بعد كم من t = 0 يبلغ تيار الملف 0,315 A؟ أوجد t.

Vs = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩL = 47 mH
t = ms
7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة
dB/dt < 0I = ?

حلقة دائرية تقع في مجال مغناطيسي منتظم متجه خارج الصفحة. شدة المجال في تناقص. انقر على اتجاه التيار المحثوث في الحلقة كما يظهر في الرسم.

B: خارج الصفحةdB/dt < 0
  1. 1باتجاه عقارب الساعة
  2. 2عكس عقارب الساعة
8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة
Bn = ?12 cm × 15 cmN = 150B = 0,25 T

ملف من 150 لفة أبعاده 12 cm × 15 cm يدور في مجال منتظم قدره 0,25 T حول محور عمودي على المجال. بأي سرعة n (بالدورات في الدقيقة) يجب أن يدور ليعطي ق.د.ك فعالة (rms) قدرها 89,97 V؟

N = 150A = 12 cm × 15 cmB = 0,25 TErms = 89,97 V
n = rpm
9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
10 V50 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 4,7 µFI

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 10 V (فعّال)، 50 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF
I = A
10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
50 V100 HzR1​ = 50 ΩR2​ = 80 ΩC = 47 µFI

مقاومة R1 موصولة على التوالي مع توصيلة توازي من R2 ومكثّف C، على مصدر 50 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR1 = 50 ΩR2 = 80 ΩC = 47 µF
I = A

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: E = 3,019 × 10⁶ N/C

قانون كولوم: تتجاذب شحنتان نقطيتان أو تتنافران بقوة F = k·|q₁·q₂|/r²، حيث k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². مجال الشحنة النقطية E = k·|q|/r²، ويتجه بعيدًا عن الشحنة الموجبة ونحو الشحنة السالبة. القوى والمجالات الناتجة عن عدة شحنات تُجمع جمعًا متجهيًا.

مجال كل شحنة

E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,225² = 1,776 × 10⁶ N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0,075² = 4,795 × 10⁶ N/C

الاتجاهات والمجموع

الشحنتان موجبتان: عند P يتجه مجال كل منهما بعيدًا عنها، أي في اتجاهين متعاكسين.

E = |1,776 × 10⁶ − 4,795 × 10⁶| = 3,019 × 10⁶ N/C

الإجابة

E = 3,019 × 10⁶ N/C
2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: q = 146,2 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

القوة الكهربائية من الاتزان

الجزء الأفقي من الشدّ يوازن F، وجزؤه الرأسي يوازن m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 8° = 0,006894 N

المسافة الفاصلة

r = 2·L·sin θ = 2·0,6·sin 8° = 0,167 m

الشحنة

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,167·√(0,006894/8,99 × 10⁹) = 1,462 × 10⁻⁷ C = 146,2 nC

الإجابة

q = 146,2 nC
3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: Req = 19,8 Ω

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​8 ΩB

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R3 + R4 = 4 + 8 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 8·12/(8+12) = 4,8 Ω
Req = R1 + 4,8 = 15 + 4,8 = 19,8 Ω

الإجابة

Req = 19,8 Ω
4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: IR1 = 0,2961 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 25 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAR4​4 ΩBR6​20 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R5 + R6 = 2 + 20 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 3,385 Ω
R3 + 3,385 = 7,385 Ω
R2 ∥ 7,385 = 5,393 Ω
Req = R1 + 5,393 = 25 + 5,393 = 30,39 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

IR1 = V1/Req = 9/30,39 = 0,2961 A

الإجابة

IR1 = 0,2961 A
5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: vC = 2,487 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

مكافئ ثيفينين كما يراه المكثّف

اقصر المصدر لإيجاد Rth؛ وافتح المكثّف لإيجاد الجهد الذي سيستقر عنده.

Rth = R1 ∥ R2 = 10·2,2/(10 + 2,2) = 1,803 kΩ
vC(∞) = 15·2,2/(10 + 2,2) = 2,705 V

الثابت الزمني

τ = Rth·C = 1,803·22 = 39,67 ms

منحنى الشحن

vC(t) = 2,705·(1 − e−100/39,67) = 2,487 V

الإجابة

vC = 2,487 V
6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: t = 0,8382 ms

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

قبل t = 0 تكون المقاومتان كلتاهما في الحلقة؛ وبعدها يتجاوز المفتاح المغلق R₂.

i(0) = 9/(20 + 15) = 0,2571 A
i(∞) = 9/20 = 0,45 A
τ = L/R = 47/20 = 2,35 ms
i(t) = 0,45 + (0,2571 − 0,45)·e−t/τ

حلّ لإيجاد الزمن

e−t/τ = (0,315 − 0,45)/(0,2571 − 0,45) = 0,7
t = 2,35·ln(1,429) = 0,8382 ms

الإجابة

t = 0,8382 ms
7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: عكس عقارب الساعة

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

تغير التدفق

يزداد التدفق الداخل في الصفحة، أو ينقص التدفق الخارج منها.

مجال التيار المحثوث

التيار المحثوث يعاكس التغير.

المجال المحثوث داخل الحلقة: خارج من الصفحة.

اتجاه التيار

قاعدة قبضة اليد اليمنى: التيار عكس عقارب الساعة يعطي مجالًا خارجًا من الصفحة داخل الحلقة.

عكس عقارب الساعة

الإجابة

عكس عقارب الساعة
8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: n = 1800 rpm

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

ق.د.ك العظمى

E₀ = √2·Erms = 127,2 V

السرعة الزاوية

ω = E₀/(NBA) = 127,2/(150·0,25·0,018) = 188,5 rad/s

الدورات في الدقيقة

n = 60·188,5/(2π) = 1800 rpm

الإجابة

n = 1800 rpm
9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,01501 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·4,7·10⁻⁶) = 677,3 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−661,5)²) = 666,4 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 10/666,4 = 0,01501 A

الإجابة

I = 0,01501 A
10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,7303 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلة

XC = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

توصيلة التوازي

اضرب البسط والمقام في المرافق المركّب لفصل Zp إلى جزأين حقيقي وتخيّلي.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 12,16 − j28,72 Ω

المعاوقة الكلية

Z = 50 + 12,16 − j28,72 = 62,16 − j28,72 Ω
|Z| = √(62,16² + 28,72²) = 68,47 Ω

التيار

I = V/|Z| = 50/68,47 = 0,7303 A

الإجابة

I = 0,7303 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism