محول خافض–رافع عاكس مثالي يحوّل 36 V إلى −84 V لحمل 2 Ω بتردد 50 kHz. أوجد أصغر محاثة Lcrit للتوصيل المستمر.
Vin = 36 VVo = −84 Vf = 50 kHzR = 2 Ω
Lcrit = µH
3.محركات التيار المستمرمتوسطة
يتصل محرك تيار مستمر فيه k = 1,5 N·m/A وRa = 2 Ω بمصدر 220 V. أوجد عزم توقفه Tstall، أي العزم عند سرعة صفر.
V = 220 Vk = 1,5 N·m/ARa = 2 Ω
Tstall = N·m
4.محركات التيار المستمرصعبة
محرك تيار مستمر صغير مقاومة عضو إنتاجه 3 Ω ويعمل على 110 V. بإهمال الفواقد الدورانية، أوجد أكبر قدرة ميكانيكية Pmax يمكنه توليدها عند أي سرعة.
V = 110 VRa = 3 Ω
Pmax = W
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة
حِملان موصولان على التوازي بمصدر أحادي الطور 240 V: حِمل 22 kW بمعامل قدرة 0,65 متأخّر وسخّان قدرته 21 kW (معامل قدرة واحد). أوجد التيار الكلي I المسحوب من المصدر.
يستهلك حِمل أحادي الطور 10 kW بمعامل قدرة 0,7 متأخّر من مصدر 230 V، 50 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,9. أوجد تيار الخط الجديد Inew.
P = 10 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9V = 230 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة
حمل متوازن موصول Δ ممانعته 24 + j7 Ω لكل طور موصول بمصدر ثلاثي الطور متوازن جهد خطه 208 V. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يمتصّها الحمل بالـ kW.
VL = 208 VZ = 24 + j7 Ω لكل طور
P = kW
8.القدرة ثلاثية الطورصعبة
حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 50 kW عند معامل قدرة 0,75 متأخر من مصدر 415 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,98 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة Cph لكل مكثّف بالـ µF.
P = 50 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3المحاليل
1.محولات التيار المستمر إلى التيار المستمر
الإجابة: Imax = 0,9625 A
محولات التيار المستمر إلى التيار المستمر: يُغلق مفتاح S للجزء D من كل دور T = 1/f. في الحالة المستقرة يكون متوسط جهد المحث صفرًا (توازن فولت·ثانية)، مما يعطي نسب التحويل المثالية في التوصيل المستمر: المحول الخافض Vo = D·Vin، والمحول الرافع Vo = Vin/(1 − D)، والمحول الخافض–الرافع العاكس |Vo| = Vin·D/(1 − D). المحول المثالي يحفظ القدرة: Vin·Iin = Vo·Io. وحين يكون S مغلقًا يرتفع تيار المحث بمقدار ΔIL = VL·D·T/L، حيث VL = Vin − Vo للمحول الخافض وVin للمحول الرافع والخافض–الرافع. وتموّج الخرج هو ΔVo = ΔIL/(8fC) للمحول الخافض وIo·D/(fC) للمحول الرافع والخافض–الرافع. ويلامس تيار المحث الصفر (حدّ التوصيل المستمر CCM) حين يساوي متوسط تيار المحث ΔIL/2.
دورة التشغيل
D = 10,5/15 = 0,7
التيار المتوسط وتيار التموّج
Io = 10,5/15 = 0,7 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 4,5·0,7/(150·10⁻⁶·40·10³) = 0,525 A
تيار الذروة
Imax = 0,7 + 0,525/2 = 0,9625 A
الإجابة
Imax = 0,9625 A
2.محولات التيار المستمر إلى التيار المستمر
الإجابة: Lcrit = 1,8 µH
محولات التيار المستمر إلى التيار المستمر: يُغلق مفتاح S للجزء D من كل دور T = 1/f. في الحالة المستقرة يكون متوسط جهد المحث صفرًا (توازن فولت·ثانية)، مما يعطي نسب التحويل المثالية في التوصيل المستمر: المحول الخافض Vo = D·Vin، والمحول الرافع Vo = Vin/(1 − D)، والمحول الخافض–الرافع العاكس |Vo| = Vin·D/(1 − D). المحول المثالي يحفظ القدرة: Vin·Iin = Vo·Io. وحين يكون S مغلقًا يرتفع تيار المحث بمقدار ΔIL = VL·D·T/L، حيث VL = Vin − Vo للمحول الخافض وVin للمحول الرافع والخافض–الرافع. وتموّج الخرج هو ΔVo = ΔIL/(8fC) للمحول الخافض وIo·D/(fC) للمحول الرافع والخافض–الرافع. ويلامس تيار المحث الصفر (حدّ التوصيل المستمر CCM) حين يساوي متوسط تيار المحث ΔIL/2.
دورة التشغيل
D = 84/(36 + 84) = 0,7
شرط الحد
ساوِ متوسط تيار المحث بنصف تيار التموّج وحُلّ لإيجاد L.
Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)
المحاثة الحرجة
Lcrit = (1 − 0,7)²·2/(250·10³) = 1,8 µH
الإجابة
Lcrit = 1,8 µH
3.محركات التيار المستمر
الإجابة: Tstall = 165 N·m
محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة Ra على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + Ia·Ra. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·Ia، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·Ia = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·Ia، ويمثل فقد النحاس Ia²Ra والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − Ra·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/Ra. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/Ra كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.
تيار التوقف
Ia = V/Ra = 220/2 = 110 A
عزم التوقف
Tstall = 1,5·110 = 165 N·m
الإجابة
Tstall = 165 N·m
4.محركات التيار المستمر
الإجابة: Pmax = 1008 W
محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة Ra على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + Ia·Ra. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·Ia، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·Ia = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·Ia، ويمثل فقد النحاس Ia²Ra والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − Ra·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/Ra. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/Ra كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.
القدرة كدالة في القوة الدافعة العكسية
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 55 V
أقصى قدرة
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 110²/(4·3) = 1008 W
الإجابة
Pmax = 1008 W
عند هذه النقطة تكون الكفاءة 50 % فقط، لذا تعمل المحركات الحقيقية فوق نصف السرعة بكثير.
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: I = 208,8 A
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
القدرة غير الفعّالة لكل حِمل
الحِمل المتأخّر يأخذ قدرة غير فعّالة (Q > 0)؛ والحِمل المتقدّم يزوّدها (Q < 0).
Q1 = 22·tan(arccos 0,65) = 25,72 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
المجاميع
P = 22 + 21 = 43 kW
Q = 25,72 + 0 = 25,72 kvar
S = √(43² + 25,72²) = 50,11 kVA
التيار الكلي
I = S/V = 50106/240 = 208,8 A
الإجابة
I = 208,8 A
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: Inew = 48,31 A
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
القدرة غير الفعّالة قبل وبعد
لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.
Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(45,57°) = 10,2 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(25,84°) = 4,843 kvar
QC = Q1 − Q2 = 5,359 kvar
تيار الخط الجديد
Inew = P/(V·cos φ2) = 10000/(230·0,9) = 48,31 A
الإجابة
Inew = 48,31 A
7.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: P = 4,984 kW
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
جهد الطور
Vph = VL = 208 V
تيار الطور
|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
Iph = 208/25 = 8,32 A
القدرة الفعّالة الكلية
الجزء المقاومي فقط من كل ممانعة يمتصّ القدرة الفعّالة.
P = 3·Iph²·R = 3·8,32²·24 = 4,984 kW
الإجابة
P = 4,984 kW
تحقّق: cos φ = R/|Z| = 0,96، و √3·VL·IL·cos φ يعطي القدرة نفسها.
8.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: Cph = 627,3 µF
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.
القدرة غير الفعّالة قبل وبعد
القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.