نظم القوى الكهربائية والآلات الكهربائية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

المحوّلات

نسبة اللفّات: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
نسبة التيارات: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
التيار المقنَّن: I = S/V
الممانعة المحوَّلة: Z₁′ = a²·Z_L
مفقودات النحاس عند حمل جزئي: P_cu = x²·P_cu,fl
الكفاءة: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
أقصى كفاءة: x = √(P_core/P_cu,fl)

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

محركات التيار المستمر

دارة عضو الإنتاج: V = E + I_aR_a
القوة الدافعة العكسية والعزم: E = k·ω, T = k·I_a
السرعة: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
سرعة اللاحمل وعزم التوقف: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
القدرات: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
البدء: I_start = V/(R_a + R_st)
تنظيم السرعة: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
أقصى قدرة متولدة: P_max = V²/(4R_a)
المشغّل بالمقطِّع: V_a = D·V_dc

الطريقة

ارسم دارة عضو الإنتاج: المصدر V ومقاومة R_a والقوة الدافعة العكسية E على التوالي.
استخدم V = E + I_a·R_a للربط بين الجهد والتيار والقوة الدافعة العكسية.
استخدم E = k·ω للسرعة وT = k·I_a للعزم، مع ω = 2π·n/60.
للقدرة والكفاءة ابدأ من V·I_a واطرح فقد النحاس I_a²·R_a ثم الفواقد الدورانية.

2مسائل تدريبية

1.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 18,5 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 94% ومعامل قدرته 0,82 متأخرًا. جهد خط المصدر 400 V. أوجد تيار الخط I_L.

P_out = 18,5 kWη = 94%cos φ = 0,82V_L = 400 V

I_L = A

2.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 50 kW عند معامل قدرة 0,7 متأخر من مصدر 400 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,98 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,98V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.المحوّلاتمتوسطة

محوّل أحادي الطور 100 kVA و 7200/240 V يعمل عند حمله المقنَّن. اعتبره مثاليًا. أوجد التيار I_HV في ملف الجهد العالي.

S = 100 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.المحوّلاتصعبة

محوّل أحادي الطور 50 kVA مفقودات قلبه 150 W ومفقودات نحاسه 450 W عند الحمل المقنَّن. عند أي حمل S_η,max، بالـ kVA، تكون كفاءته في أعلاها؟

S = 50 kVAP_core = 150 WP_cu,fl = 450 W

S_η,max = kVA

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

يستهلك محرّك أحادي الطور 23 kW بمعامل قدرة 0,85 متأخّر من مصدر 240 V. أوجد القدرة غير الفعّالة Q التي يسحبها.

P = 23 kWpf = 0,85V = 240 V

Q = kvar

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يأخذ حِمل أحادي الطور 9 kW بمعامل قدرة 0,75 متأخّر من مصدر 400 V، 60 Hz. يُوصل مكثّف سعته 33 µF على التوازي مع الحِمل. أوجد معامل القدرة الجديد cos φ الذي يراه المصدر.

P = 9 kWpf₁ = 0,75V = 400 Vf = 60 HzC = 33 µF

cos φ =

7.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي مع L = 200 mH يجب أن ترنّ عند 1000 Hz. أوجد السعة C المطلوبة.

f₀ = 1000 HzL = 200 mH

C = µF

8.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 12 V (فعّال)، 50 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 100 µF

I = A

9.محركات التيار المستمرمتوسطة

يعمل محرك تيار مستمر (k = 0,8 V·s/rad، R_a = 0,8 Ω) على 120 V. عند الحمل الكامل يسحب 8 A. بإهمال تيار اللاحمل، أوجد تنظيم سرعته SR = (n₀ − n_FL)/n_FL بالنسبة المئوية.

V = 120 Vk = 0,8 V·s/radR_a = 0,8 ΩI_FL = 8 A

SR = %

10.محركات التيار المستمرصعبة

يدير محرك تيار مستمر (k = 0,75 V·s/rad، R_a = 0,25 Ω) على مصدر ثابت 48 V حملًا بعزم 15 N·m. أوجد المقاومة على التوالي R_s التي تبطّئه إلى 300 rpm.

V = 48 Vk = 0,75 V·s/radR_a = 0,25 ΩT = 15 N·mn = 300 rpm

R_s = Ω

3المحاليل

1.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: I_L = 34,64 A

القدرة الكهربائية الداخلة

P_in = P_out/η = 18,5/0,94 = 19,68 kW

تيار الخط

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 19681/(√3·400·0,82) = 34,64 A

الإجابة

I_L = 34,64 A

2.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 812,8 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,7) = 50·1,02 = 51,01 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,98) = 50·0,2031 = 10,15 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 40,86 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Y يوصل كل مكثّف بين خط ونقطة النجمة.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 13619/(314,2·230,9²) = 812,8 µF

الإجابة

C_ph = 812,8 µF

3.المحوّلات

الإجابة: I_HV = 13,89 A

المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.

التيار المقنَّن

يحمل الملفان القدرة الظاهرية نفسها.

I_HV = S/V = 100000/7200 = 13,89 A

الإجابة

I_HV = 13,89 A

4.المحوّلات

الإجابة: S_η,max = 28,87 kVA

مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·P_cu,fl. الكفاءة η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)، حيث P_out = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.

مفقودات النحاس تساوي مفقودات القلب

x²·450 = 150 → x = √(150/450) = 0,5774

الحمل عند أقصى كفاءة

S_η,max = x·S = 0,5774·50 = 28,87 kVA

الإجابة

S_η,max = 28,87 kVA

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: Q = 14,25 kvar

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

الزاوية

φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197

القدرة غير الفعّالة

Q = P·tan φ = 23·0,6197 = 14,25 kvar

الإجابة

Q = 14,25 kvar

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: cos φ = 0,8343

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = 9·tan(arccos 0,75) = 7,937 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·60·33·10⁻⁶ = 1991 var = 1,991 kvar

Q₂ = 7,937 − 1,991 = 5,947 kvar

القدرة الظاهرية الجديدة

S₂ = √(9² + 5,947²) = 10,79 kVA

معامل القدرة الجديد

cos φ = P/S₂ = 9/10,79 = 0,8343

الإجابة

cos φ = 0,8343

7.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: C = 0,1267 µF

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,2) = 0,1267 µF

الإجابة

C = 0,1267 µF

8.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,2371 A

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (31)²) = 50,61 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 12/50,61 = 0,2371 A

الإجابة

I = 0,2371 A

9.محركات التيار المستمر

الإجابة: SR = 5,634 %

محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة R_a على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + I_a·R_a. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·I_a، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·I_a = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·I_a، ويمثل فقد النحاس I_a²R_a والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − R_a·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/R_a. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/R_a كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.

سرعة اللاحمل وسرعة الحمل الكامل

n₀ = 60·120/(2π·0,8) = 1432 rpm

n_FL = 60·(120 − 8·0,8)/(2π·0,8) = 1356 rpm

تنظيم السرعة

SR = (1432 − 1356)/1356·100 = 5,634 %

الإجابة

SR = 5,634 %

10.محركات التيار المستمر

الإجابة: R_s = 0,9719 Ω

التيار والقوة الدافعة العكسية

I_a = 15/0,75 = 20 A

E = 0,75·31,42 = 23,56 V

المقاومة على التوالي

R_a + R_s = (48 − 23,56)/20 = 1,222 Ω

R_s = 0,9719 Ω

الإجابة

R_s = 0,9719 Ω

تبدد المقاومة 388,8 W؛ أما المقطِّع فيتحكم في السرعة بفقد أقل بكثير.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems