الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
تعني قيمة p تساوي 0,03 أنه:
- Aبالنظر إلى البيانات الملاحَظة، فاحتمال صحة الفرضية الصفرية 3% فقط
- Bلو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات
- Cالتأثير كبير
- Dستتكرر النتيجة في 97% من الحالات
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يجمع باحث بيانات في تسع نقاط زمنية ويختبر في كل مرة عند مستوى 5% دون تصحيح. ما المشكلة؟
- Aلا توجد مشكلة في هذا الأسلوب
- Bيرتفع احتمال الحصول على نتيجة إيجابية كاذبة واحدة على الأقل كثيرًا فوق 5%
- Cتصبح البيانات أكثر ثباتًا في كل مرة، فيكون الاختبار الأخير الأدق
- Dينخفض حجم التأثير مع كل اختبار
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 19, 57, 28, 38, 28, 29.
n = 6
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 15. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 90.
μ = 60σ = 15x = 90
z =
5.الاحتمالمتوسطة
يُرمى حجر نرد منتظم 6 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟
n = 6
P =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 7 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,5. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 7p = 0,5
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تقع بين 29,3 و 35 min؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 32σ = 6x1 = 29,3x2 = 35
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 25% منها (المئين 25).
μ = 250σ = 5P = 25%
x = g
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 16 مفردة متوسطها 61 وانحرافها المعياري s = 6. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.
n = 16x̄ = 61s = 690%t(15) = 1,753
الحد الأدنى =
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 36. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 3 على الأكثر؟
σ = 36E = 390%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 100 جزءًا متوسط طولها 79 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 11 mm. الخط 2: عينة من 50 جزءًا متوسطها 82,3 mm، والانحراف المعياري المعلوم 18 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).
n₁ = 100x̄₁ = 79 mmσ₁ = 11 mmn₂ = 50x̄₂ = 82,3 mmσ₂ = 18 mm
z =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ > 500 عند α = 0,01 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 24. في الواقع المتوسط 504,5. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 500μ = 504,5σ = 24n = 64α = 0,01
1 − β = %
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.
n = 5Σx = 90Σy = 179Σx² = 1660Σy² = 7007Σxy = 3376
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 11.
n = 6x = 11
ŷ =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1802 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 9 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟
k = 9
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات
لماذا هذه هي الإجابة
قيمة p هي احتمال الحصول على نتائج متطرفة بقدر النتائج الملاحظة أو أكثر لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة، ولا تعطي احتمال صحة فرضية ولا حجم التأثير.
الإجابة
B · لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · يرتفع احتمال الحصول على نتيجة إيجابية كاذبة واحدة على الأقل كثيرًا فوق 5%
لماذا هذه هي الإجابة
مع تسعة اختبارات مستقلة يبلغ احتمال وقوع خطأ واحد على الأقل من النوع الأول نحو 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. وتعالج تصحيحات مثل بونفيروني ذلك.
الإجابة
B · يرتفع احتمال الحصول على نتيجة إيجابية كاذبة واحدة على الأقل كثيرًا فوق 5%
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 13,14
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 199/6 = 33,17
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−14,17)² + 23,83² + (−5,167)² + 4,833² + (−5,167)² + (−4,167)² = 862,8
الانحراف المعياري
s = √(862,8/5) = 13,14
الإجابة
s = 13,14
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 2
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (90 − 60)/15 = 2
الإجابة
z = 2
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,6651
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
الحدث المتمم
P(لا ستة) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
الإجابة
P = 0,6651
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,0625
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,57 = 0,007813
P(X = 1) = 7·0,5·0,56 = 0,05469
اجمعها
P = 0,007813 + 0,05469 = 0,0625
الإجابة
P = 0,0625
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,3651
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (29,3 − 32)/6 = −0,45
z₂ = (35 − 32)/6 = 0,5
المساحة بين القيمتين
P = Φ(0,5) − Φ(−0,45) = 0,6915 − 0,3264 = 0,3651
الإجابة
P = 0,3651
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 246,6 g
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
العودة إلى x
x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g
الإجابة
x = 246,63 g
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = 58,37
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 15, t = 1,753
هامش الخطأ
E = 1,753·6/√16 = 2,629
الفترة
61 ± 2,629 → [58,37, 63,63]
الإجابة
الحد الأدنى = 58,37
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 390
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,645·36/3)² = 389,7
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 390
الإجابة
n = 390
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = −1,19
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
الخطأ المعياري للفرق
SE = √(11²/100 + 18²/50) = √7,69 = 2,773
إحصائية الاختبار
z = (79 − 82,3)/2,773 = −1,19
الإجابة
z = −1,19
|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: 1 − β = 20,44 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 24/√64 = 3
x̄c = 500 + 2,326·3 = 507
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (507 − 504,5)/3 = 0,826
القدرة
القوة = P(Z > 0,826) = 20,44%
1 − β = 20,44%
الإجابة
1 − β = 20,44%
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9951
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المجاميع الممركَزة
Sxy = 3376 − 90·179/5 = 154
Sxx = 1660 − 90²/5 = 40
Syy = 7007 − 179²/5 = 598,8
معامل الارتباط
r = 154/√(40·598,8) = 0,9951
الإجابة
r = 0,9951
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: ŷ = 46,56
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 183/6 = 30,5
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 281
خط الانحدار
b = 281/70 = 4,014
a = 30,5 − 4,014·7 = 2,4
ŷ = 2,4 + 4,014·x
التنبؤ
ŷ = 2,4 + 4,014·11 = 46,56
الإجابة
ŷ = 46,56
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 8,531
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
حضري: 100·54/180 = 30, 100·54/180 = 30, 100·72/180 = 40
ريفي: 80·54/180 = 24, 80·54/180 = 24, 80·72/180 = 32
إحصاءة مربع كاي
χ² = (37 − 30)²/30 + (22 − 30)²/30 + (41 − 40)²/40 + (17 − 24)²/24 + (32 − 24)²/24 + (31 − 32)²/32
χ² = 8,531
الإجابة
χ² = 8,531
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 7
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 9 − 1 − 1 = 7
الإجابة
df = 7
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology