مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يتحقق خبراء مما إذا كانت بنود امتحان رياضيات تغطي جميع موضوعات المنهج. هذا يقيّم:

Aالصدق البيئي
Bصدق المحتوى
Cثبات الاختبار وإعادة الاختبار
Dالصدق التنبؤي

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تجد دراسة على 10 مشاركين أثرًا كبيرًا لكنه غير دال. ما الاستنتاج الأنسب؟

Aربما افتقرت الدراسة إلى القوة الإحصائية، فالنتيجة غير حاسمة
Bلا بد أن حجم الأثر حُسب خطأً
Cلا بد أن الأثر خطأ من النوع الأول
Dالدراسة تثبت أن الفرضية الصفرية صحيحة، لأن الأثر لم يكن دالًا

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 60, 25, 56, 16, 14.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 85.

μ = 60σ = 20x = 85

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 7 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,5، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 1 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 7p = 0,5k = 1

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 12 min وانحراف معياري 1,5 min؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 20 min وانحراف معياري 2 min. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 35,8 min. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35,8 min

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,02 mm وانحراف معياري 0,015 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,01 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 100 هاتفًا، المتوسط 102 h، الانحراف المعياري المعلوم 7 h. الطراز 2: 50 هاتفًا، المتوسط 95 h، الانحراف المعياري المعلوم 20 h. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 102 hσ₁ = 7 hn₂ = 50x̄₂ = 95 hσ₂ = 20 h99%

الحد الأعلى = h

10.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 16 قطعة، متوسط المحصول 62 kg، الانحراف المعياري 2,5 kg. مجموعة القطع 2: 6 قطعة، المتوسط 63 kg، الانحراف المعياري 3 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 16x̄₁ = 62s₁ = 2,5n₂ = 6x̄₂ = 63s₂ = 395%t(20) = 2,086

الحد الأعلى = kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 10 طالبًا، متوسط الدرجة 31,5، الانحراف المعياري 10. المجموعة 2: 6 طالبًا، متوسط الدرجة 20، الانحراف المعياري 3. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 10x̄₁ = 31,5s₁ = 10n₂ = 6x̄₂ = 20s₂ = 3

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 5 وحدة بقوة 80%. الانحراف المعياري 23. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,05القوة = 80%δ = 5σ = 23z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 78؟

n = 6ŷ = 78

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1602 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 1803 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · صدق المحتوى

لماذا هذه هي الإجابة

صدق المحتوى هو مدى تغطية القياس لجميع الجوانب ذات الصلة من البنية، ويحكم عليه الخبراء عادةً.

الإجابة

B · صدق المحتوى

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · ربما افتقرت الدراسة إلى القوة الإحصائية، فالنتيجة غير حاسمة

لماذا هذه هي الإجابة

مع العينات الصغيرة كثيرًا ما تفشل حتى الآثار الحقيقية في بلوغ الدلالة (خطأ من النوع الثاني). وينبغي للباحثين الإبلاغ عن حجم الأثر وفترة الثقة وإعادة الدراسة بعينة أكبر.

الإجابة

A · ربما افتقرت الدراسة إلى القوة الإحصائية، فالنتيجة غير حاسمة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 22,16

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 171/5 = 34,2

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 25,8² + (−9,2)² + 21,8² + (−18,2)² + (−20,2)² = 1965

الانحراف المعياري

s = √(1965/4) = 22,16

الإجابة

s = 22,16

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1,25

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (85 − 60)/20 = 1,25

الإجابة

z = 1,25

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 0,8367

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

التباين

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

الإجابة

σ = 0,8367

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,05469

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 1) = 7·0,5¹·0,5⁶ = 7·0,5·0,01563 = 0,05469

الإجابة

P = 0,05469

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,06426

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (35,8 − 32)/2,5 = 1,52

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(1,52) = 1 − 0,9357 = 0,06426

الإجابة

P = 0,06426

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8665

توزيع الفرق

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

الإجابة

P = 0,8665

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 14,51 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 102 − 95 = 7

الخطأ المعياري

SE = √(7²/100 + 20²/50) = 2,914

هامش الخطأ

E = 2,576·2,914 = 7,506

الفترة

7 ± 7,506 → [−0,5058, 14,51]

الإجابة

الحد الأعلى = 14,51 h

الفترة تحتوي على 0، لذا لا تُظهر البيانات فرقًا دالًّا إحصائيًا.

10.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 1,63 kg

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (15·2,5² + 5·3²)/20 = 6,938

s_p = 2,634

هامش الخطأ

E = 2,086·2,634·√(1/16 + 1/6) = 2,63

الفترة

−1 ± 2,63 → [−3,63, 1,63]

الإجابة

الحد الأعلى = 1,63 kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,711

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (9·10² + 5·3²)/14 = 67,5

s_p = 8,216

الخطأ المعياري

SE = 8,216·√(1/10 + 1/6) = 4,243

إحصائية الاختبار

t = (31,5 − 20)/4,243 = 2,711

الإجابة

t = 2,711

مع df = 14، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,145؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 131

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((1,645 + 0,842)·23/5)² = 130,9

قرّب إلى الأعلى

n = 131

الإجابة

n = 131

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9786

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 129/6 = 21,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 69,5

معامل التحديد

r² = −34,5²/(17,5·69,5) = 0,9786

الإجابة

r² = 0,9786

نحو 97,86% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 8,054

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 418/6 = 69,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 284

خط الانحدار

b = 284/70 = 4,057

a = 69,67 − 4,057·6 = 45,32

ŷ = 45,32 + 4,057·x

حلّ لإيجاد x

x = (78 − 45,32)/4,057 = 8,054

الإجابة

x = 8,054

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 2,178

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المناوبة النهارية: 40·32/160 = 8, 40·48/160 = 12, 40·80/160 = 20

المناوبة الليلية: 120·32/160 = 24, 120·48/160 = 36, 120·80/160 = 60

إحصاءة مربع كاي

χ² = (10 − 8)²/8 + (14 − 12)²/12 + (16 − 20)²/20 + (22 − 24)²/24 + (34 − 36)²/36 + (64 − 60)²/60

χ² = 2,178

الإجابة

χ² = 2,178

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 13,75

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 32, 48

خط الإنتاج 2: 24, 36

خط الإنتاج 3: 16, 24

إحصاءة مربع كاي

χ² = (28 − 32)²/32 + (52 − 48)²/48 + (18 − 24)²/24 + (42 − 36)²/36 + (26 − 16)²/16 + (14 − 24)²/24

χ² = 13,75

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

13,75 > 9,210

الإجابة

χ² = 13,75

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology