الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
الدراسة التي لا تُجرى إلا على طلاب جامعيين أمريكيين قد تفتقر إلى:
- Aالثبات بين المقيّمين
- Bصدق المحتوى
- Cالاتساق الداخلي
- Dصدق المجتمع
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يقارن باحث ثلاثة متوسطات أو أكثر. لماذا يُستخدم تحليل التباين الأحادي بدلًا من عدة اختبارات t؟
- Aيجد تحليل التباين دائمًا تأثيرات أكبر مما تجده مجموعة اختبارات t المكافئة
- Bتؤدي الاختبارات المتعددة إلى تضخّم المعدل الكلي لخطأ النوع الأول
- Cلا تتعامل اختبارات t مع أعداد أكبر من 100
- Dتحتاج اختبارات t إلى بيانات نوعية
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 35, 47, 56, 43, 39.
n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 60. ما نسبة P القيم الأقل من 620؟
μ = 500σ = 60x = 620
P =
5.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 7 كرات حمراء و4 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
7 / 4
P =
6.الاحتمالصعبة
يحتوي اختبار على 7 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,6، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 5 إجابات صحيحة بالضبط؟
n = 7p = 0,6k = 5
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تقع بين 30,5 و 33,2 min؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 32σ = 6x1 = 30,5x2 = 33,2
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 21 مفردة متوسطها 73 وانحرافها المعياري s = 11. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 99% للمتوسط.
n = 21x̄ = 73s = 1199%t(20) = 2,845
E =
10.فترات الثقةصعبة
يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 8 قطعة، متوسط المحصول 98 kg، الانحراف المعياري 3,5 kg. مجموعة القطع 2: 13 قطعة، المتوسط 88,5 kg، الانحراف المعياري 3,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 8x̄₁ = 98s₁ = 3,5n₂ = 13x̄₂ = 88,5s₂ = 3,599%t(19) = 2,861
الحد الأعلى = kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 79 وانحرافها المعياري 10. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 79s = 10n = 36
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 36 قياسًا متوسطها 43,8. الانحراف المعياري للمجتمع 15. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 95% للمتوسط.
x̄ = 43,8σ = 15n = 3695%
L =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (10, 95). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 6(10, 95)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الموظفون، الحافلة».
مجموع الصف = 90مجموع العمود = 24N = 158
E =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 3 صفوف و 5 أعمدة (دون احتساب المجاميع). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · صدق المجتمع
لماذا هذه هي الإجابة
صدق المجتمع نوع من الصدق الخارجي، والعينات التي يغلب عليها الشباب والغربيون والمتعلمون قد لا تمثل غيرهم.
الإجابة
D · صدق المجتمع
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · تؤدي الاختبارات المتعددة إلى تضخّم المعدل الكلي لخطأ النوع الأول
لماذا هذه هي الإجابة
إجراء اختبارات ثنائية كثيرة يضاعف فرصة النتيجة الإيجابية الكاذبة. يختبر تحليل التباين جميع المجموعات معًا، ثم تُجرى اختبارات بعدية مصحّحة.
الإجابة
B · تؤدي الاختبارات المتعددة إلى تضخّم المعدل الكلي لخطأ النوع الأول
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 8,062
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 220/5 = 44
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−9)² + 3² + 12² + (−1)² + (−5)² = 260
الانحراف المعياري
s = √(260/4) = 8,062
الإجابة
s = 8,062
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,9772
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 2
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
الإجابة
P = 0,9772
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,3818
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0,3818
الإجابة
P = 0,3818
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,2613
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صيغة ذي الحدين
P(X = 5) = 21·0,65·0,42 = 21·0,07776·0,16 = 0,2613
الإجابة
P = 0,2613
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,178
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25
z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2
المساحة بين القيمتين
P = Φ(0,2) − Φ(−0,25) = 0,5793 − 0,4013 = 0,178
الإجابة
P = 0,178
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,7881
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 4)/5 = −0,8
الاحتمال
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
الإجابة
P = 0,7881
9.فترات الثقة
الإجابة: E = 6,829
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 20, t = 2,845
هامش الخطأ
E = 2,845·11/√21 = 6,829
الإجابة
E = 6,829
10.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 14 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الانحراف المعياري المجمَّع
sp² = (7·3,5² + 12·3,5²)/19 = 12,25
sp = 3,5
هامش الخطأ
E = 2,861·3,5·√(1/8 + 1/13) = 4,5
الفترة
9,5 ± 4,5 → [5, 14]
الإجابة
الحد الأعلى = 14 kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 2,4
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
إحصائية الاختبار
t = (79 − 75)/1,667 = 2,4
الإجابة
t = 2,4
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: L = 38,9
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 1,96·15/√36 = 4,9
حد الفترة
L = 43,8 − 4,9 = 38,9
الإجابة
L = 38,9
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,8802
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 300/6 = 50
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59
Syy = Σ(y − ȳ)² = 226
معامل التحديد
r² = 59²/(17,5·226) = 0,8802
الإجابة
r² = 0,8802
نحو 88,02% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = −4,7
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 471/6 = 78,5
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 371
خط الانحدار
b = 371/70 = 5,3
a = 78,5 − 5,3·6 = 46,7
ŷ = 46,7 + 5,3·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 46,7 + 5,3·10 = 99,7
البُواقي
e = 95 − 99,7 = −4,7
الإجابة
e = −4,7
تقع النقطة تحت الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: E = 13,67
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرار المتوقَّع
E = 90·24/158 = 13,67
الإجابة
E = 13,67
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 20,09
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8
الجدول
χ²crit(df = 8, α = 0,01) = 20,090
الإجابة
χ²crit = 20,090
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology