الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
فترة الثقة 95% لمتوسط قدره 50 هي من 46 إلى 54. ما أدق تفسير؟
- Aحصل 95% من المشاركين الأفراد في العينة على درجات بين 46 و54 في المقياس
- Bهناك احتمال 95% أن يكون متوسط العينة 50
- Cالنتيجة غير دالة
- Dالإجراء المستخدم ينتج فترات تحتوي على المتوسط الحقيقي في 95% من الحالات
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
ما الهدف الرئيسي من التوزيع العشوائي على الشروط في التجربة؟
- Aتوزيع متغيرات المشاركين بالتساوي كي لا تُربك النتائج
- Bجعل العيّنة ممثِّلة للمجتمع المستهدف لتُعمَّم النتائج
- Cضمان ألا يعرف المشاركون الهدف
- Dزيادة معدل الاستجابة
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 41, 14, 42, 10, 33, 32.
n = 6
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأقل من 92؟
μ = 100σ = 10x = 92
P =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,35
σ =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 11 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,2. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 11p = 0,2
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,9385. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,9385
z =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 10% على يمينه. أوجد حد القطع x.
μ = 65 درجةσ = 10 درجة10%
x = درجة
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 9 مفردة متوسطها 80 وانحرافها المعياري s = 17,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للمتوسط.
n = 9x̄ = 80s = 17,595%t(8) = 2,306
الحد الأعلى =
10.فترات الثقةصعبة
يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 10 قطعة، متوسط المحصول 72 kg، الانحراف المعياري 1,5 kg. مجموعة القطع 2: 7 قطعة، المتوسط 69,5 kg، الانحراف المعياري 2 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 10x̄₁ = 72s₁ = 1,5n₂ = 7x̄₂ = 69,5s₂ = 299%t(15) = 2,947
E = kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 100 طالبًا متوسط درجاتها 502,5 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 502,5s = 12n = 100
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 4 وحدة بقوة 90%. الانحراف المعياري 28. أوجد أصغر حجم عينة n.
α = 0,05القوة = 90%δ = 4σ = 28zα = 1,645zβ = 1,282
n =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.
n = 6Σx = 33Σy = 511Σx² = 199Σy² = 44369Σxy = 2931
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 5.
n = 5x = 5
ŷ =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 2402 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 9 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟
k = 9
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · الإجراء المستخدم ينتج فترات تحتوي على المتوسط الحقيقي في 95% من الحالات
لماذا هذه هي الإجابة
تعطي فترة الثقة 95% مدى من القيم المعقولة لمعلمة المجتمع. والفترات الأضيق، الناتجة عن عينات أكبر، تعني تقديرات أدق.
الإجابة
D · الإجراء المستخدم ينتج فترات تحتوي على المتوسط الحقيقي في 95% من الحالات
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: A · توزيع متغيرات المشاركين بالتساوي كي لا تُربك النتائج
لماذا هذه هي الإجابة
يوازن التوزيع العشوائي الفروق الفردية بين الشروط ويدعم الاستنتاجات السببية، أما المعاينة العشوائية فتتعلق بالتعميم على المجتمع.
الإجابة
A · توزيع متغيرات المشاركين بالتساوي كي لا تُربك النتائج
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 13,59
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 172/6 = 28,67
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 12,33² + (−14,67)² + 13,33² + (−18,67)² + 4,333² + 3,333² = 923,3
الانحراف المعياري
s = √(923,3/5) = 13,59
الإجابة
s = 13,59
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,2119
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −0,8
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
الإجابة
P = 0,2119
5.الاحتمال
الإجابة: σ = 1,187
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,25 + 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,35 = 1,7
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,25 + 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,35 = 4,3
التباين
Var(X) = 4,3 − 1,7² = 1,41
σ = √1,41 = 1,187
الإجابة
σ = 1,187
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,3221
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,811 = 0,0859
P(X = 1) = 11·0,2·0,810 = 0,2362
اجمعها
P = 0,0859 + 0,2362 = 0,3221
الإجابة
P = 0,3221
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 1,87
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = (1 + 0,9385)/2 = 0,9693
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,9693 داخل الجدول واقرأ z.
z = 1,87
الإجابة
z = 1,87
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 77,8 درجة
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,9
z من الجدول
z ≈ 1,28
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 65 + 1,28·10 = 77,8 درجة
الإجابة
x = 77,8 درجة
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 93,45
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 8, t = 2,306
هامش الخطأ
E = 2,306·17,5/√9 = 13,45
الفترة
80 ± 13,45 → [66,55, 93,45]
الإجابة
الحد الأعلى = 93,45
10.فترات الثقة
الإجابة: E = 2,494 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الانحراف المعياري المجمَّع
sp² = (9·1,5² + 6·2²)/15 = 2,95
sp = 1,718
هامش الخطأ
E = 2,947·1,718·√(1/10 + 1/7) = 2,494
الإجابة
E = 2,494 kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 2,083
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
إحصائية الاختبار
t = (502,5 − 500)/1,2 = 2,083
الإجابة
t = 2,083
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: n = 420
حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = ((1,645 + 1,282)·28/4)² = 419,8
قرّب إلى الأعلى
n = 420
الإجابة
n = 420
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9887
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المجاميع الممركَزة
Sxy = 2931 − 33·511/6 = 120,5
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 44369 − 511²/6 = 848,8
معامل الارتباط
r = 120,5/√(17,5·848,8) = 0,9887
الإجابة
r = 0,9887
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: ŷ = 44,8
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 234/5 = 46,8
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80
خط الانحدار
b = 80/40 = 2
a = 46,8 − 2·6 = 34,8
ŷ = 34,8 + 2·x
التنبؤ
ŷ = 34,8 + 2·5 = 44,8
الإجابة
ŷ = 44,8
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 0,2791
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
الطلاب: 120·48/240 = 24, 120·108/240 = 54, 120·84/240 = 42
الموظفون: 120·48/240 = 24, 120·108/240 = 54, 120·84/240 = 42
إحصاءة مربع كاي
χ² = (23 − 24)²/24 + (56 − 54)²/54 + (41 − 42)²/42 + (25 − 24)²/24 + (52 − 54)²/54 + (43 − 42)²/42
χ² = 0,2791
الإجابة
χ² = 0,2791
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 7
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 9 − 1 − 1 = 7
الإجابة
df = 7
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology