مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يرسل باحث استبيانًا إلى جميع الطلاب، ثم يطلب من المستجيبين استقطاب أصدقاء يستخدمون أيضًا تطبيقًا نادرًا للنوم. أي طريقة معاينة تُستخدم في الخطوة الثانية؟

Aالمعاينة الطبقية
Bمعاينة كرة الثلج
Cالمعاينة المنتظمة
Dالمعاينة العشوائية

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

لماذا يرى باحثون كثيرون أنه ينبغي الإبلاغ عن قيم p مع أحجام الأثر وفترات الثقة؟

Aلأن أحجام الأثر تجعل حجم العينة غير مؤثر في الدلالة
Bلأن فترات الثقة لا تلزم إلا في البحث النوعي
Cلأن قيمة p لا تُظهر حجم الأثر أو دقته
Dلأن قيم p تُظهر احتمال صحة الفرضية

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 26, 35, 40, 44, 56, 24, 10.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 106؟

μ = 100σ = 10x = 106

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,2

σ =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 8 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,25، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 3 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 8p = 0,25k = 3

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 12 min وانحراف معياري 1,5 min؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 20 min وانحراف معياري 2 min. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 34,5 min. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 34,5 min

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 90% منها (المئين 90).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 10 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 2 وانحرافها المعياري 3,7. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.

n = 10d̄ = 2s_d = 3,790%t(9) = 1,833

الحد الأدنى = mmHg

10.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 12 قطعة، متوسط المحصول 17,5 kg، الانحراف المعياري 3,5 kg. مجموعة القطع 2: 10 قطعة، المتوسط 29 kg، الانحراف المعياري 5,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 12x̄₁ = 17,5s₁ = 3,5n₂ = 10x̄₂ = 29s₂ = 5,595%t(20) = 2,086

الحد الأعلى = kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 500,9 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 500,9s = 5n = 81

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 5 وحدة بقوة 95%. الانحراف المعياري 30. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,05القوة = 95%δ = 5σ = 30z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 15؟

n = 5ŷ = 15

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الطلاب، الحافلة».

مجموع الصف = 85مجموع العمود = 88N = 191

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · معاينة كرة الثلج

لماذا هذه هي الإجابة

معاينة كرة الثلج مفيدة للمجموعات التي يصعب الوصول إليها، لكن من المرجح أن تتشارك العينة خصائص معينة فلا تكون ممثِّلة.

الإجابة

B · معاينة كرة الثلج

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · لأن قيمة p لا تُظهر حجم الأثر أو دقته

لماذا هذه هي الإجابة

تتوقف قيمة p كثيرًا على حجم العينة، ولا تدل إلا على مدى إثارة البيانات للدهشة في ظل الفرضية الصفرية. أما أحجام الأثر فتُظهر المقدار، والفترات تُظهر الدقة.

الإجابة

C · لأن قيمة p لا تُظهر حجم الأثر أو دقته

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,05

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 235/7 = 33,57

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−7,571)² + 1,429² + 6,429² + 10,43² + 22,43² + (−9,571)² + (−23,57)² = 1360

الانحراف المعياري

s = √(1360/6) = 15,05

الإجابة

s = 15,05

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,2743

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 0,6

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

الإجابة

P = 0,2743

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 2,142

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,25 + 2·0,25 + 4·0,3 + 6·0,2 = 2,9

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,25 + 16·0,3 + 36·0,2 = 13

التباين

Var(X) = 13 − 2,9² = 4,59

σ = √4,59 = 2,142

الإجابة

σ = 2,142

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2076

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 3) = 56·0,25³·0,75⁵ = 56·0,01563·0,2373 = 0,2076

الإجابة

P = 0,2076

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,1587

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (34,5 − 32)/2,5 = 1

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

الإجابة

P = 0,1587

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 551,3 h

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

العودة إلى x

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

الإجابة

x = 551,26 h

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −0,1447 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 9, t = 1,833

هامش الخطأ

E = 1,833·3,7/√10 = 2,145

الفترة

2 ± 2,145 → [−0,1447, 4,145]

الإجابة

الحد الأدنى = −0,1447 mmHg

10.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = −7,471 kg

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (11·3,5² + 9·5,5²)/20 = 20,35

s_p = 4,511

هامش الخطأ

E = 2,086·4,511·√(1/12 + 1/10) = 4,029

الفترة

−11,5 ± 4,029 → [−15,53, −7,471]

الإجابة

الحد الأعلى = −7,471 kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,62

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

إحصائية الاختبار

t = (500,9 − 500)/0,5556 = 1,62

الإجابة

t = 1,62

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 390

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((1,645 + 1,645)·30/5)² = 389,7

قرّب إلى الأعلى

n = 390

الإجابة

n = 390

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,827

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 294/5 = 58,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 28

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 94,8

معامل التحديد

r² = 28²/(10·94,8) = 0,827

الإجابة

r² = 0,827

نحو 82,7% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 3,645

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 85/5 = 17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

خط الانحدار

b = −31/10 = −3,1

a = 17 − (−3,1)·3 = 26,3

ŷ = 26,3 − 3,1·x

حلّ لإيجاد x

x = (15 − 26,3)/(−3,1) = 3,645

الإجابة

x = 3,645

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 39,16

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 85·88/191 = 39,16

الإجابة

E = 39,16

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 2,257

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 16, 24

خط الإنتاج 2: 40, 60

خط الإنتاج 3: 24, 36

إحصاءة مربع كاي

χ² = (19 − 16)²/16 + (21 − 24)²/24 + (35 − 40)²/40 + (65 − 60)²/60 + (26 − 24)²/24 + (34 − 36)²/36

χ² = 2,257

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

2,257 < 5,991

الإجابة

χ² = 2,257

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology