مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

تعني الإجرائية (التعريف الإجرائي):

Aاختيار اختبار إحصائي
Bتعريف المتغيرات بطريقة دقيقة وقابلة للقياس
Cإعطاء التعليمات للمشاركين
Dإجراء البحث في بيئة تشغيلية حقيقية، كالمستشفى

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يسجل ملاحِظان الأفعال العدوانية في ملعب، ويبلغ الارتباط بين عدّيهما r = 0,45. ماذا يجب أن يفعل الباحث؟

Aاستخدام العدّ الأعلى من العدّين فقط
Bالتحول إلى فرضية أحادية الطرف
Cتنقيح فئات السلوك وتدريب الملاحِظين، ثم إعادة فحص الاتفاق
Dقبول البيانات لأن أي ارتباط موجب يكفي

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 42, 57, 32, 55, 10, 46.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأقل من 147,5؟

μ = 170σ = 15x = 147,5

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,25, 0,2, 0,3, 0,15

σ =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = −2X + 20. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = −2X + 20

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 76 و 122,5 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x₁ = 76x₂ = 122,5

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

كتلة منتج X من الخط 1 وY من الخط 2 مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 500 g وانحراف معياري 8 g، ولـ Y متوسط 490 g وانحراف معياري 6 g. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 6 مفردة متوسطها 26,5 وانحرافها المعياري s = 1. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 6x̄ = 26,5s = 195%t(5) = 2,571

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,04 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0490%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 196,6 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 196,6s = 15n = 64

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 5 وحدة بقوة 80%. الانحراف المعياري 15. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,05القوة = 80%δ = 5σ = 15z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (1,5, 56). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 56)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1002 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 1803 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · تعريف المتغيرات بطريقة دقيقة وقابلة للقياس

لماذا هذه هي الإجابة

يحوّل التعريف الإجرائي المفاهيم المجردة إلى قياسات محددة بحيث يمكن تكرار البحث.

الإجابة

B · تعريف المتغيرات بطريقة دقيقة وقابلة للقياس

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · تنقيح فئات السلوك وتدريب الملاحِظين، ثم إعادة فحص الاتفاق

لماذا هذه هي الإجابة

يعني الثبات المنخفض بين الملاحِظين أن الفئات تُطبَّق بعدم اتساق. ويجب أن ترفع التعريفات الإجرائية الأوضح وجلسات التدريب الاتفاقَ قبل جمع البيانات الرئيسي.

الإجابة

C · تنقيح فئات السلوك وتدريب الملاحِظين، ثم إعادة فحص الاتفاق

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,42

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 242/6 = 40,33

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 1,667² + 16,67² + (−8,333)² + 14,67² + (−30,33)² + 5,667² = 1517

الانحراف المعياري

s = √(1517/5) = 17,42

الإجابة

s = 17,42

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,06681

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

الإجابة

P = 0,06681

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,236

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,1 + 1·0,25 + 2·0,2 + 3·0,3 + 4·0,15 = 2,15

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,25 + 4·0,2 + 9·0,3 + 16·0,15 = 6,15

التباين

Var(X) = 6,15 − 2,15² = 1,528

σ = √1,528 = 1,236

الإجابة

σ = 1,236

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 1,609

تشتت X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

التغيير الخطي

σ_Y = |−2|·0,8047 = 1,609

الإجابة

σ_Y = 1,609

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = −2·1,05 + 20 = 17,9.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8784

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (76 − 100)/15 = −1,6

z₂ = (122,5 − 100)/15 = 1,5

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,5) − Φ(−1,6) = 0,9332 − 0,0548 = 0,8784

الإجابة

P = 0,8784

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8413

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/10 = −1

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 27,55

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 5, t = 2,571

هامش الخطأ

E = 2,571·1/√6 = 1,05

الفترة

26,5 ± 1,05 → [25,45, 27,55]

الإجابة

الحد الأعلى = 27,55

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 423

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,04² = 422,8

قرّب إلى الأعلى

n = 423

الإجابة

n = 423

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,813

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

إحصائية الاختبار

t = (196,6 − 200)/1,875 = −1,813

الإجابة

t = −1,813

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 56

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((1,645 + 0,842)·15/5)² = 55,67

قرّب إلى الأعلى

n = 56

الإجابة

n = 56

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9782

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 62/5 = 12,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 167,2

معامل الارتباط

r = 80/√(40·167,2) = 0,9782

الإجابة

r = 0,9782

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 4,833

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 391/6 = 65,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122,5

خط الانحدار

b = 122,5/17,5 = 7

a = 65,17 − 7·3,5 = 40,67

ŷ = 40,67 + 7·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 40,67 + 7·1,5 = 51,17

البُواقي

e = 56 − 51,17 = 4,833

الإجابة

e = 4,833

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 3,889

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المناوبة النهارية: 60·30/100 = 18, 60·30/100 = 18, 60·40/100 = 24

المناوبة الليلية: 40·30/100 = 12, 40·30/100 = 12, 40·40/100 = 16

إحصاءة مربع كاي

χ² = (18 − 18)²/18 + (14 − 18)²/18 + (28 − 24)²/24 + (12 − 12)²/12 + (16 − 12)²/12 + (12 − 16)²/16

χ² = 3,889

الإجابة

χ² = 3,889

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 13,51

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 16, 24

خط الإنتاج 2: 24, 36

خط الإنتاج 3: 32, 48

إحصاءة مربع كاي

χ² = (21 − 16)²/16 + (19 − 24)²/24 + (31 − 24)²/24 + (29 − 36)²/36 + (20 − 32)²/32 + (60 − 48)²/48

χ² = 13,51

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

13,51 > 5,991

الإجابة

χ² = 13,51

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology