الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
في التوزيع الطبيعي التام:
- Aيكون المتوسط دائمًا أكبر من الوسيط
- Bيتساوى المتوسط والوسيط والمنوال
- Cتقع معظم الدرجات في الذيلين
- Dيكون المنوال أدنى درجة
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
تشير «أزمة التكرار» في علم النفس إلى:
- Aفشل كثير من النتائج المنشورة في الظهور مجددًا في دراسات جديدة
- Bإلزام المجلات قانونًا برفض جميع دراسات التكرار المقدَّمة إليها
- Cنقص المشاركين في التجارب
- Dنسخ الاستبيانات دون إذن
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 47, 19, 54, 59, 16, 15, 29.
n = 7
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 85؟
μ = 70σ = 10x = 85
P =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,25, 0,35, 0,05
σ =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 7 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,6. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 7p = 0,6
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,9715. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,9715
z =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,03 mm وانحراف معياري 0,015 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
الثقب: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 15 مفردة متوسطها 92,5 وانحرافها المعياري s = 6. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 99% للمتوسط.
n = 15x̄ = 92,5s = 699%t(14) = 2,977
E =
10.فترات الثقةصعبة
لأقطار 21 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 5 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 20، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 9,591 و 2,5% فوق 34,17.
n = 21s = 5 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 49 طالبًا متوسط درجاتها 199 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 199s = 4n = 49
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 16 قياسًا متوسطها 43,6. الانحراف المعياري للمجتمع 15. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 99% للمتوسط.
x̄ = 43,6σ = 15n = 1699%
U =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 24؟
n = 5ŷ = 24
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1402 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.
N = 2003 × 2α = 0,01
χ² =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · يتساوى المتوسط والوسيط والمنوال
لماذا هذه هي الإجابة
التوزيع الطبيعي متناظر وجرسي الشكل، فتقع مقاييس النزعة المركزية الثلاثة جميعها في المركز.
الإجابة
B · يتساوى المتوسط والوسيط والمنوال
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: A · فشل كثير من النتائج المنشورة في الظهور مجددًا في دراسات جديدة
لماذا هذه هي الإجابة
وجدت مشاريع التكرار الكبيرة أن كثيرًا من التأثيرات أصغر أو غائبة، وهو ما يرتبط بتحيّز النشر وصغر العيّنات ومرونة التحليل. والتسجيل المسبق أحد الحلول.
الإجابة
A · فشل كثير من النتائج المنشورة في الظهور مجددًا في دراسات جديدة
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 18,84
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 239/7 = 34,14
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 12,86² + (−15,14)² + 19,86² + 24,86² + (−18,14)² + (−19,14)² + (−5,143)² = 2129
الانحراف المعياري
s = √(2129/6) = 18,84
الإجابة
s = 18,84
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,06681
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 1,5
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
الإجابة
P = 0,06681
5.الاحتمال
الإجابة: σ = 1,887
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,35 + 2·0,25 + 4·0,35 + 6·0,05 = 2,2
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,35 + 4·0,25 + 16·0,35 + 36·0,05 = 8,4
التباين
Var(X) = 8,4 − 2,2² = 3,56
σ = √3,56 = 1,887
الإجابة
σ = 1,887
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,01884
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,47 = 0,001638
P(X = 1) = 7·0,6·0,46 = 0,0172
اجمعها
P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884
الإجابة
P = 0,01884
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 2,19
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = (1 + 0,9715)/2 = 0,9857
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,9857 داخل الجدول واقرأ z.
z = 2,19
الإجابة
z = 2,19
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,8849
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
الاحتمال
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
الإجابة
P = 0,8849
9.فترات الثقة
الإجابة: E = 4,612
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 14, t = 2,977
هامش الخطأ
E = 2,977·6/√15 = 4,612
الإجابة
E = 4,612
10.فترات الثقة
الإجابة: σ = 7,22 µm
فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.
مجموع المربعات
(n − 1)s² = 20·5² = 500
حدّا σ²
500/34,17 = 14,63
500/9,591 = 52,13
حدّ σ
σ = √52,13 = 7,22 µm
الإجابة
σ = 7,22 µm
فترة 95% لـ σ: [3,825, 7,22] µm.
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −1,75
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714
إحصائية الاختبار
t = (199 − 200)/0,5714 = −1,75
الإجابة
t = −1,75
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: U = 53,26
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 2,576·15/√16 = 9,66
حد الفترة
U = 43,6 + 9,66 = 53,26
الإجابة
U = 53,26
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,985
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 527/6 = 87,83
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 351
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1787
معامل التحديد
r² = 351²/(70·1787) = 0,985
الإجابة
r² = 0,985
نحو 98,5% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 7,053
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 105/5 = 21
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114
خط الانحدار
b = 114/40 = 2,85
a = 21 − 2,85·6 = 3,9
ŷ = 3,9 + 2,85·x
حلّ لإيجاد x
x = (24 − 3,9)/2,85 = 7,053
الإجابة
x = 7,053
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 1,158
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
حضري: 60·35/140 = 15, 60·49/140 = 21, 60·56/140 = 24
ريفي: 80·35/140 = 20, 80·49/140 = 28, 80·56/140 = 32
إحصاءة مربع كاي
χ² = (16 − 15)²/15 + (18 − 21)²/21 + (26 − 24)²/24 + (19 − 20)²/20 + (31 − 28)²/28 + (30 − 32)²/32
χ² = 1,158
الإجابة
χ² = 1,158
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 1,361
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
العمر 18–30: 16, 24
العمر 31–50: 24, 36
العمر 51+: 40, 60
إحصاءة مربع كاي
χ² = (18 − 16)²/16 + (22 − 24)²/24 + (26 − 24)²/24 + (34 − 36)²/36 + (36 − 40)²/40 + (64 − 60)²/60
χ² = 1,361
القرار
df = 2, χ²crit = 9,210
1,361 < 9,210
الإجابة
χ² = 1,361
χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology