الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
في تحليل المحتوى، يُتحقق من الثبات بين المقيّمين عن طريق:
- Aترميز المادة مرتين في اليوم نفسه
- Bسؤال المشاركين لاحقًا عما إذا كان ترميز الباحث لموادهم صحيحًا
- Cاستخدام عيّنة أكبر من المواد
- Dقيام باحثَين بترميز المادة نفسها ومقارنة النتائج
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
تجد دراسة ارتباطًا قدره r = 0,05 بين الطول ومعدل الذكاء لدى لاعبي كرة السلة المحترفين فقط، رغم أنه أعلى في عموم السكان. ما الذي يفسر الارتباط الضعيف على أفضل نحو؟
- Aتقييد المدى
- Bخصائص الطلب
- Cالانحدار نحو المتوسط
- Dأثر السقف في اختبارات الذكاء
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 22, 18, 15, 33, 25, 14.
n = 6
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 15. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 80.
μ = 50σ = 15x = 80
z =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,25, 0,3, 0,35
σ =
6.الاحتمالصعبة
تكلفة لعبة €2 للمشاركة. تربح €4 باحتمال 0,15 و€100 باحتمال 0,01؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.
مبلغ المشاركة = €2€4: p = 0,15€100: p = 0,01
E(G) = €
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 77,5 و 115,75 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 100σ = 15x1 = 77,5x2 = 115,75
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 40% على يساره. أوجد حد القطع x.
μ = 178 cmσ = 7 cm40%
x = cm
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 25 مفردة متوسطها 39 وانحرافها المعياري s = 2,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للمتوسط.
n = 25x̄ = 39s = 2,590%t(24) = 1,711
الحد الأعلى =
10.فترات الثقةصعبة
يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 5 قطعة، متوسط المحصول 96 kg، الانحراف المعياري 9 kg. مجموعة القطع 2: 11 قطعة، المتوسط 97 kg، الانحراف المعياري 6,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 5x̄₁ = 96s₁ = 9n₂ = 11x̄₂ = 97s₂ = 6,599%t(14) = 2,977
الحد الأدنى = kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يُزعم أن متوسط مجتمع ما 80؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 18. متوسط عينة عشوائية من 144 مشاهدة هو 77,42. اختبر H₀: μ = 80 مقابل H₁: μ < 80. أوجد القيمة الاحتمالية p.
μ₀ = 80σ = 18n = 144x̄ = 77,42H₁: μ < μ₀
p =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 81 قياسًا متوسطها 501,2. الانحراف المعياري للمجتمع 5. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 90% للمتوسط.
x̄ = 501,2σ = 5n = 8190%
L =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (23, 117). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 5(23, 117)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1802 × 2
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 4 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟
k = 4
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · قيام باحثَين بترميز المادة نفسها ومقارنة النتائج
لماذا هذه هي الإجابة
إذا أعطى مرمِّزون مستقلون رموزًا متشابهة للبيانات نفسها (اتفاق أو ارتباط مرتفع)، فإن نظام الترميز ثابت.
الإجابة
D · قيام باحثَين بترميز المادة نفسها ومقارنة النتائج
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: A · تقييد المدى
لماذا هذه هي الإجابة
عندما لا تغطي العينة إلا مدى ضيقًا من متغير ما، تضعف الارتباطات التي يدخل فيها. ولاعبو كرة السلة جميعهم طوال القامة، فالطول لا يتفاوت إلا قليلًا.
الإجابة
A · تقييد المدى
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 7,139
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 127/6 = 21,17
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 0,8333² + (−3,167)² + (−6,167)² + 11,83² + 3,833² + (−7,167)² = 254,8
الانحراف المعياري
s = √(254,8/5) = 7,139
الإجابة
s = 7,139
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 2
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (80 − 50)/15 = 2
الإجابة
z = 2
5.الاحتمال
الإجابة: σ = 0,995
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 1·0,1 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,35 = 2,9
متوسط المربعات
E(X²) = 1·0,1 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,35 = 9,4
التباين
Var(X) = 9,4 − 2,9² = 0,99
σ = √0,99 = 0,995
الإجابة
σ = 0,995
6.الاحتمال
الإجابة: E(G) = −0,4 €
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
النتائج الصافية
G: 2 (p = 0,15), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)
القيمة المتوقعة
E(G) = 2·0,15 + 98·0,01 − 2·0,84 = −0,4 €
الإجابة
E(G) = −0,4 €
القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,7863
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (77,5 − 100)/15 = −1,5
z₂ = (115,75 − 100)/15 = 1,05
المساحة بين القيمتين
P = Φ(1,05) − Φ(−1,5) = 0,8531 − 0,06681 = 0,7863
الإجابة
P = 0,7863
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 176,3 cm
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,4
z من الجدول
z ≈ −0,25
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm
الإجابة
x = 176,3 cm
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 39,86
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 24, t = 1,711
هامش الخطأ
E = 1,711·2,5/√25 = 0,8555
الفترة
39 ± 0,8555 → [38,14, 39,86]
الإجابة
الحد الأعلى = 39,86
10.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = −12,72 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الانحراف المعياري المجمَّع
sp² = (4·9² + 10·6,5²)/14 = 53,32
sp = 7,302
هامش الخطأ
E = 2,977·7,302·√(1/5 + 1/11) = 11,72
الفترة
−1 ± 11,72 → [−12,72, 10,72]
الإجابة
الحد الأدنى = −12,72 kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: p = 0,04272
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
إحصائية الاختبار
SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5
z = (77,42 − 80)/1,5 = −1,72
مساحة الذيل
Φ(1,72) = 0,9573
1 − Φ(1,72) = 0,0427
القيمة الاحتمالية
p = 0,04272
الإجابة
p = 0,04272
p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: L = 500,3
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 1,645·5/√81 = 0,9139
حد الفترة
L = 501,2 − 0,9139 = 500,3
الإجابة
L = 500,3
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9954
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 182/6 = 30,33
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 282
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1141
معامل التحديد
r² = 282²/(70·1141) = 0,9954
الإجابة
r² = 0,9954
نحو 99,54% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = −4,7
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 523/5 = 104,6
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228
خط الانحدار
b = 228/40 = 5,7
a = 104,6 − 5,7·20 = −9,4
ŷ = −9,4 + 5,7·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = −9,4 + 5,7·23 = 121,7
البُواقي
e = 117 − 121,7 = −4,7
الإجابة
e = −4,7
تقع النقطة تحت الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 3,273
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
الرجال: 80·81/180 = 36, 80·99/180 = 44
النساء: 100·81/180 = 45, 100·99/180 = 55
إحصاءة مربع كاي
χ² = (42 − 36)²/36 + (38 − 44)²/44 + (39 − 45)²/45 + (61 − 55)²/55
χ² = 3,273
الإجابة
χ² = 3,273
df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 2
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 4 − 1 − 1 = 2
الإجابة
df = 2
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology