مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

في تصميم القياسات المتكررة يمكن ضبط تأثيرات الترتيب عن طريق:

Aعيّنة أكبر فقط
Bالمعاينة العشوائية
Cالموازنة (counterbalancing)
Dإجراءات التعمية الأحادية

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

وجدت دراسة أن الطلاب الذين ينامون أكثر يحصلون على درجات أعلى. أي تعديل في التصميم يسمح على أفضل وجه باستنتاج سببي؟

Aالطلب من الطلاب الإبلاغ عن نومهم مرتين وأخذ متوسط التقريرين
Bقياس الدرجات بدقة أكبر
Cتوزيع الطلاب عشوائيًا على جداول نوم مختلفة
Dاستطلاع عدد أكبر من الطلاب

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 22, 46, 50, 48, 40, 47, 21.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأكبر من 64,8؟

μ = 60σ = 12x = 64,8

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €3 للمشاركة. تربح €15 باحتمال 0,3 و€150 باحتمال 0,02؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €3€15: p = 0,3€150: p = 0,02

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. ما النسبة التي تقع بين 242,5 و 256 g؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 250σ = 5x₁ = 242,5x₂ = 256

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 30% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 250 gσ = 5 g30%

x = g

9.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 90% لمتوسط، مبنية على 64 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 2,3. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 95% مبنية على 16 مشاهدة؟

90%n₁ = 64E₁ = 2,395%n₂ = 16

E₂ =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 6. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 0,5 على الأكثر؟

σ = 6E = 0,595%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 206,3 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 206,3s = 12n = 16

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 100 قياسًا متوسطها 51,5. الانحراف المعياري للمجتمع 10. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 51,5σ = 10n = 10090%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة النهارية، كبير».

مجموع الصف = 97مجموع العمود = 49N = 187

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2603 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · الموازنة (counterbalancing)

لماذا هذه هي الإجابة

توزّع الموازنة تأثيرات التمرّن والتعب بالتساوي على الشروط.

الإجابة

C · الموازنة (counterbalancing)

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · توزيع الطلاب عشوائيًا على جداول نوم مختلفة

لماذا هذه هي الإجابة

وحده التلاعب بالنوم مع التوزيع العشوائي يضبط المتغيرات الثالثة ويسمح بالاستدلال السببي ضمن الحدود الأخلاقية.

الإجابة

C · توزيع الطلاب عشوائيًا على جداول نوم مختلفة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 12,44

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 274/7 = 39,14

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−17,14)² + 6,857² + 10,86² + 8,857² + 0,8571² + 7,857² + (−18,14)² = 928,9

الانحراف المعياري

s = √(928,9/6) = 12,44

الإجابة

s = 12,44

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,3446

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 0,4

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

الإجابة

P = 0,3446

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 0,8047

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

التباين

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

الإجابة

σ = 0,8047

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 4,5 €

النتائج الصافية

G: 12 (p = 0,3), 147 (p = 0,02), −3 (p = 0,68)

القيمة المتوقعة

E(G) = 12·0,3 + 147·0,02 − 3·0,68 = 4,5 €

الإجابة

E(G) = 4,5 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8181

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (242,5 − 250)/5 = −1,5

z₂ = (256 − 250)/5 = 1,2

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,2) − Φ(−1,5) = 0,8849 − 0,06681 = 0,8181

الإجابة

P = 0,8181

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 252,6 g

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,7

z من الجدول

z ≈ 0,52

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 250 + 0,52·5 = 252,6 g

الإجابة

x = 252,6 g

9.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 5,481

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(64/16) = 2,383

الهامش الجديد

E₂ = 2,3·2,383 = 5,481

الإجابة

E₂ = 5,481

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 554

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·6/0,5)² = 553,2

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 554

الإجابة

n = 554

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,1

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

إحصائية الاختبار

t = (206,3 − 200)/3 = 2,1

الإجابة

t = 2,1

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 53,15

هامش الخطأ

E = 1,645·10/√100 = 1,645

حد الفترة

U = 51,5 + 1,645 = 53,15

الإجابة

U = 53,15

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,9537

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 126/6 = 21

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 86

معامل الارتباط

r = −37/√(17,5·86) = −0,9537

الإجابة

r = −0,9537

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 26,95

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 128/5 = 25,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −9

خط الانحدار

b = −9/10 = −0,9

a = 25,6 − (−0,9)·3 = 28,3

ŷ = 28,3 − 0,9·x

التنبؤ

ŷ = 28,3 + (−0,9)·1,5 = 26,95

الإجابة

ŷ = 26,95

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 25,42

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 97·49/187 = 25,42

الإجابة

E = 25,42

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 2,542

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 32, 48

خط الإنتاج 2: 40, 60

خط الإنتاج 3: 32, 48

إحصاءة مربع كاي

χ² = (34 − 32)²/32 + (46 − 48)²/48 + (34 − 40)²/40 + (66 − 60)²/60 + (36 − 32)²/32 + (44 − 48)²/48

χ² = 2,542

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

2,542 < 9,210

الإجابة

χ² = 2,542

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology