مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يُقلَّل تحيّز المجرِّب بأكثر الطرق مباشرة عن طريق:

Aاستخدام فرضية أحادية الطرف
Bاستخدام عينة أكبر
Cالاقتصار على المتطوعين
Dالاستعانة بباحث لا يعرف الفرضية أو الشروط لجمع البيانات

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

لماذا يرى باحثون كثيرون أنه ينبغي الإبلاغ عن قيم p مع أحجام الأثر وفترات الثقة؟

Aلأن أحجام الأثر تجعل حجم العينة غير مؤثر في الدلالة
Bلأن قيم p تُظهر احتمال صحة الفرضية
Cلأن قيمة p لا تُظهر حجم الأثر أو دقته
Dلأن فترات الثقة لا تلزم إلا في البحث النوعي

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 21, 11, 18, 33, 44, 11.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 8. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 103,2.

μ = 100σ = 8x = 103,2

z =

5.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 5 كرات حمراء و8 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

5 / 8

P =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 11 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,25، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 5 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 11p = 0,25k = 5

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,9660. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9660

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 30% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 15 مفردة متوسطها 90 وانحرافها المعياري s = 4. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 95% للمتوسط.

n = 15x̄ = 90s = 495%t(14) = 2,145

E =

10.فترات الثقةصعبة

لأقطار 25 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 11,4 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 24، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 12,401 و 2,5% فوق 39,364.

n = 25s = 11,4 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 10 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق −6,68 والانحراف المعياري للفروق 8,8. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 10d̄ = −6,68s_d = 8,8

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 4 وحدة بقوة 90%. الانحراف المعياري 22. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,05القوة = 90%δ = 4σ = 22z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (8, 79). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(8, 79)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة النهارية، بلا عيب».

مجموع الصف = 67مجموع العمود = 46N = 156

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 1803 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · الاستعانة بباحث لا يعرف الفرضية أو الشروط لجمع البيانات

لماذا هذه هي الإجابة

قد يؤثر المجرّبون الذين يعرفون الفرضية دون قصد في المشاركين أو في التسجيلات، وتقلل الإجراءات أحادية التعمية أو مزدوجة التعمية والتعليمات المعيارية ذلك.

الإجابة

D · الاستعانة بباحث لا يعرف الفرضية أو الشروط لجمع البيانات

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · لأن قيمة p لا تُظهر حجم الأثر أو دقته

لماذا هذه هي الإجابة

تتوقف قيمة p كثيرًا على حجم العينة، ولا تدل إلا على مدى إثارة البيانات للدهشة في ظل الفرضية الصفرية. أما أحجام الأثر فتُظهر المقدار، والفترات تُظهر الدقة.

الإجابة

C · لأن قيمة p لا تُظهر حجم الأثر أو دقته

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,1

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 138/6 = 23

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−2)² + (−12)² + (−5)² + 10² + 21² + (−12)² = 858

الانحراف المعياري

s = √(858/5) = 13,1

الإجابة

s = 13,1

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,4

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (103,2 − 100)/8 = 0,4

الإجابة

z = 0,4

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1282

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282

الإجابة

P = 0,1282

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,0803

صيغة ذي الحدين

P(X = 5) = 462·0,25⁵·0,75⁶ = 462·0,0009766·0,178 = 0,0803

الإجابة

P = 0,0803

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 2,12

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,9660)/2 = 0,9830

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9830 داخل الجدول واقرأ z.

z = 2,12

الإجابة

z = 2,12

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 174,4 cm

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,3

z من الجدول

z ≈ −0,52

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm

الإجابة

x = 174,4 cm

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 2,215

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 14, t = 2,145

هامش الخطأ

E = 2,145·4/√15 = 2,215

الإجابة

E = 2,215

10.فترات الثقة

الإجابة: σ = 15,86 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 24·11,4² = 3119

حدّا σ²

3119/39,364 = 79,24

3119/12,401 = 251,5

حدّ σ

σ = √251,5 = 15,86 µm

الإجابة

σ = 15,86 µm

فترة 95% لـ σ: [8,901, 15,86] µm.

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,4

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 8,8/√10 = 2,783

إحصائية الاختبار

t = −6,68/2,783 = −2,4

الإجابة

t = −2,4

مع df = 9، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,262؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 260

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((1,645 + 1,282)·22/4)² = 259,2

قرّب إلى الأعلى

n = 260

الإجابة

n = 260

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9929

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 156/6 = 26

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 266

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1018

معامل التحديد

r² = 266²/(70·1018) = 0,9929

الإجابة

r² = 0,9929

نحو 99,29% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 2,7

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 349/5 = 69,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 260

خط الانحدار

b = 260/40 = 6,5

a = 69,8 − 6,5·7 = 24,3

ŷ = 24,3 + 6,5·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 24,3 + 6,5·8 = 76,3

البُواقي

e = 79 − 76,3 = 2,7

الإجابة

e = 2,7

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 19,76

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 67·46/156 = 19,76

الإجابة

E = 19,76

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 3,889

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 24, 36

خط الإنتاج 2: 24, 36

خط الإنتاج 3: 24, 36

إحصاءة مربع كاي

χ² = (18 − 24)²/24 + (42 − 36)²/36 + (28 − 24)²/24 + (32 − 36)²/36 + (26 − 24)²/24 + (34 − 36)²/36

χ² = 3,889

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

3,889 < 9,210

الإجابة

χ² = 3,889

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology