مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يشير تحيّز النشر إلى:

Aأن المحكّمين يفضّلون أوراق المؤلفين من الجامعات الشهيرة على الجامعات الأقل شهرة
Bأن الدراسات ذات النتائج الدالة أرجح نشرًا من النتائج الصفرية
Cأن الباحثين ينشرون الدراسة نفسها مرتين
Dأن المجلات لا تنشر إلا البحوث النوعية

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تشير «أزمة التكرار» في علم النفس إلى:

Aإلزام المجلات قانونًا برفض جميع دراسات التكرار المقدَّمة إليها
Bنسخ الاستبيانات دون إذن
Cفشل كثير من النتائج المنشورة في الظهور مجددًا في دراسات جديدة
Dنقص المشاركين في التجارب

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 48, 18, 34, 41, 48.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 5. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 166.

μ = 170σ = 5x = 166

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €1 للمشاركة. تربح €4 باحتمال 0,15 و€20 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €1€4: p = 0,15€20: p = 0,05

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. ما النسبة التي تقع بين 175,9 و 185 cm؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 178σ = 7x₁ = 175,9x₂ = 185

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 60% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 100 هاتفًا، المتوسط 83 h، الانحراف المعياري المعلوم 13 h. الطراز 2: 50 هاتفًا، المتوسط 80 h، الانحراف المعياري المعلوم 20 h. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 83 hσ₁ = 13 hn₂ = 50x̄₂ = 80 hσ₂ = 20 h99%

E = h

10.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 7 قطعة، متوسط المحصول 48,5 kg، الانحراف المعياري 4 kg. مجموعة القطع 2: 15 قطعة، المتوسط 53,5 kg، الانحراف المعياري 7 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 48,5s₁ = 4n₂ = 15x̄₂ = 53,5s₂ = 799%t(20) = 2,845

E = kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 8 طالبًا، متوسط الدرجة 48، الانحراف المعياري 2. المجموعة 2: 6 طالبًا، متوسط الدرجة 45,9، الانحراف المعياري 10. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 8x̄₁ = 48s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 45,9s₂ = 10

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 80 مقابل H₁: μ > 80 عند α = 0,10 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 12. في الواقع المتوسط 82,4. أوجد احتمال الخطأ من النوع الثاني β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 80μ = 82,4σ = 12n = 64α = 0,10

β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (23,5, 63). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(23,5, 63)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة الليلية، طفيف».

مجموع الصف = 64مجموع العمود = 47N = 138

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2603 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · أن الدراسات ذات النتائج الدالة أرجح نشرًا من النتائج الصفرية

لماذا هذه هي الإجابة

عندما تبقى الدراسات غير الدالة في أدراج الملفات تبالغ الأدبيات المنشورة في تقدير أحجام الأثر، مما يشوّه التحليلات البعدية.

الإجابة

B · أن الدراسات ذات النتائج الدالة أرجح نشرًا من النتائج الصفرية

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · فشل كثير من النتائج المنشورة في الظهور مجددًا في دراسات جديدة

لماذا هذه هي الإجابة

وجدت مشاريع التكرار الكبيرة أن كثيرًا من التأثيرات أصغر أو غائبة، وهو ما يرتبط بتحيّز النشر وصغر العيّنات ومرونة التحليل. والتسجيل المسبق أحد الحلول.

الإجابة

C · فشل كثير من النتائج المنشورة في الظهور مجددًا في دراسات جديدة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 12,5

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 189/5 = 37,8

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 10,2² + (−19,8)² + (−3,8)² + 3,2² + 10,2² = 624,8

الانحراف المعياري

s = √(624,8/4) = 12,5

الإجابة

s = 12,5

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −0,8

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (166 − 170)/5 = −0,8

الإجابة

z = −0,8

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 0,8047

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

التباين

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

الإجابة

σ = 0,8047

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 0,6 €

النتائج الصافية

G: 3 (p = 0,15), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,8)

القيمة المتوقعة

E(G) = 3·0,15 + 19·0,05 − 1·0,8 = 0,6 €

الإجابة

E(G) = 0,6 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,4593

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (175,9 − 178)/7 = −0,3

z₂ = (185 − 178)/7 = 1

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1) − Φ(−0,3) = 0,8413 − 0,3821 = 0,4593

الإجابة

P = 0,4593

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 248,8 g

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,4

z من الجدول

z ≈ −0,25

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g

الإجابة

x = 248,8 g

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 8,019 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 83 − 80 = 3

الخطأ المعياري

SE = √(13²/100 + 20²/50) = 3,113

هامش الخطأ

E = 2,576·3,113 = 8,019

الإجابة

E = 8,019 h

الفترة تحتوي على 0، لذا لا تُظهر البيانات فرقًا دالًّا إحصائيًا.

10.فترات الثقة

الإجابة: E = 8,143 kg

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (6·4² + 14·7²)/20 = 39,1

s_p = 6,253

هامش الخطأ

E = 2,845·6,253·√(1/7 + 1/15) = 8,143

الإجابة

E = 8,143 kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 0,5862

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (7·2² + 5·10²)/12 = 44

s_p = 6,633

الخطأ المعياري

SE = 6,633·√(1/8 + 1/6) = 3,582

إحصائية الاختبار

t = (48 − 45,9)/3,582 = 0,5862

الإجابة

t = 0,5862

مع df = 12، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,179؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: β = 37,52 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 12/√64 = 1,5

x̄_c = 80 + 1,282·1,5 = 81,92

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (81,92 − 82,4)/1,5 = −0,318

الخطأ من النوع الثاني

القوة = P(Z > −0,318) = 62,48%

β = 100% − 62,48% = 37,52%

الإجابة

β = 37,52%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,993

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 311/6 = 51,83

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 95,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 524,8

معامل التحديد

r² = 95,5²/(17,5·524,8) = 0,993

الإجابة

r² = 0,993

نحو 99,3% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −3,5

المتوسطات

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 399/6 = 66,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 433,5

خط الانحدار

b = 433,5/157,5 = 2,752

a = 66,5 − 2,752·23,5 = 1,819

ŷ = 1,819 + 2,752·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 1,819 + 2,752·23,5 = 66,5

البُواقي

e = 63 − 66,5 = −3,5

الإجابة

e = −3,5

تقع النقطة تحت الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 21,8

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 64·47/138 = 21,8

الإجابة

E = 21,8

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 22,56

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 50, 50

خط الإنتاج 2: 50, 50

خط الإنتاج 3: 30, 30

إحصاءة مربع كاي

χ² = (68 − 50)²/50 + (32 − 50)²/50 + (35 − 50)²/50 + (65 − 50)²/50 + (27 − 30)²/30 + (33 − 30)²/30

χ² = 22,56

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

22,56 > 9,210

الإجابة

χ² = 22,56

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology