مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

معامل ألفا كرونباخ البالغ 0,88 لمقياس قلق من 15 بندًا يدل على:

Aاتساق داخلي جيد للبنود
Bأن الدرجات مستقرة على مدى ستة أشهر
Cأن للمقياس تأثيرًا دالًا في القلق
Dأن المقياس يتنبأ جيدًا بالقلق المستقبلي

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يجمع تحليل بعدي 40 دراسة عن علاج ما. لماذا قد يظل حجم الأثر الكلي أكبر من اللازم؟

Aلأن الجمع بين الدراسات يزيل دائمًا كل التحيّز
Bلأن التحليلات البعدية تعطي دائمًا آثارًا أصغر من الدراسات المفردة التي تضمها
Cلأن التحليلات البعدية لا يمكنها تضمين التجارب العشوائية
Dلأن تحيّز النشر يعني أن دراسات صفرية غير منشورة قد تكون مفقودة

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 54, 46, 49, 30, 49.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 40. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 468.

μ = 500σ = 40x = 468

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,25, 0,1, 0,35

σ =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 9 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,2، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 2 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 9p = 0,2k = 2

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,3829. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,3829

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 75% منها (المئين 75).

μ = 65σ = 10P = 75%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 7 مفردة متوسطها 57 وانحرافها المعياري s = 13,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 90% للمتوسط.

n = 7x̄ = 57s = 13,590%t(6) = 1,943

E =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 30. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟

σ = 30E = 1,599%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 11 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق −0,27 والانحراف المعياري للفروق 1,1. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = −0,27s_d = 1,1

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 3 وحدة بقوة 95%. الانحراف المعياري 24. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,05القوة = 95%δ = 3σ = 24z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (4,5, 13). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 13)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الطلاب، السيارة».

مجموع الصف = 80مجموع العمود = 24N = 143

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 5 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 5

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · اتساق داخلي جيد للبنود

لماذا هذه هي الإجابة

يقدّر ألفا كرونباخ الاتساق الداخلي، وتُعد القيم في حدود 0,7 أو أعلى مقبولة عادةً. ولا يُظهر وحده الصدق.

الإجابة

A · اتساق داخلي جيد للبنود

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · لأن تحيّز النشر يعني أن دراسات صفرية غير منشورة قد تكون مفقودة

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كانت النتائج الصفرية تُنشر أقل، فإن الأثر المجمَّع يتضخم. وتساعد مخططات القمع (funnel plots) والبحث عن البيانات غير المنشورة على كشف ذلك وتقليله.

الإجابة

D · لأن تحيّز النشر يعني أن دراسات صفرية غير منشورة قد تكون مفقودة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 9,182

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 228/5 = 45,6

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 8,4² + 0,4² + 3,4² + (−15,6)² + 3,4² = 337,2

الانحراف المعياري

s = √(337,2/4) = 9,182

الإجابة

s = 9,182

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −0,8

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (468 − 500)/40 = −0,8

الإجابة

z = −0,8

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 12,45

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 10·0,3 + 20·0,25 + 30·0,1 + 40·0,35 = 25

متوسط المربعات

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,25 + 900·0,1 + 1600·0,35 = 780

التباين

Var(X) = 780 − 25² = 155

σ = √155 = 12,45

الإجابة

σ = 12,45

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,302

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 2) = 36·0,2²·0,8⁷ = 36·0,04·0,2097 = 0,302

الإجابة

P = 0,302

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,5

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,3829)/2 = 0,6915

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,6915 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,50

الإجابة

z = 0,50

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 71,75 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

العودة إلى x

x = 65 + 0,6745·10 = 71,75 درجة

الإجابة

x = 71,75 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 9,914

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 6, t = 1,943

هامش الخطأ

E = 1,943·13,5/√7 = 9,914

الإجابة

E = 9,914

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 2655

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·30/1,5)² = 2654

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 2655

الإجابة

n = 2655

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −0,8141

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 1,1/√11 = 0,3317

إحصائية الاختبار

t = −0,27/0,3317 = −0,8141

الإجابة

t = −0,8141

مع df = 10، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,228؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 693

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((1,645 + 1,645)·24/3)² = 692,7

قرّب إلى الأعلى

n = 693

الإجابة

n = 693

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,8994

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 166/5 = 33,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 118,8

معامل الارتباط

r = 31/√(10·118,8) = 0,8994

الإجابة

r = 0,8994

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −4,05

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 104/5 = 20,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

خط الانحدار

b = −25/10 = −2,5

a = 20,8 − (−2,5)·3 = 28,3

ŷ = 28,3 − 2,5·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 28,3 + (−2,5)·4,5 = 17,05

البُواقي

e = 13 − 17,05 = −4,05

الإجابة

e = −4,05

تقع النقطة تحت الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 13,43

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 80·24/143 = 13,43

الإجابة

E = 13,43

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 3

درجات الحرية

df = 5 − 1 − 1 = 3

الإجابة

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology