مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يصبح الخطأ المعياري للمتوسط أصغر عندما:

Aيزداد حجم العينة
Bيقل حجم العينة
Cيُقاس المتغير على المستوى الرتبي
Dيزداد المتوسط

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

زيادة حجم العيّنة في دراسة تؤدي بشكل مباشر أكثر إلى:

Aإزالة كل تحيّز من العيّنة
Bيضمن نتيجة دالة إحصائيًا إن وُجد أي تأثير
Cزيادة حجم التأثير
Dزيادة القوة الإحصائية لاكتشاف تأثير حقيقي

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 45, 20, 59, 23, 15, 49, 16.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 100. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 420.

μ = 500σ = 100x = 420

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,15, 0,25

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 12 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,25، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 4 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 12p = 0,25k = 4

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تقع بين 27,2 و 33,2 min؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 32σ = 6x₁ = 27,2x₂ = 33,2

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 60% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 65 درجةσ = 10 درجة60%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 10 مفردة متوسطها 43,5 وانحرافها المعياري s = 7,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 10x̄ = 43,5s = 7,595%t(9) = 2,262

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 7. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 2,5 على الأكثر؟

σ = 7E = 2,595%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 84,5 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 84,5s = 20n = 16

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 200 مقابل H₁: μ > 200 عند α = 0,05 بعينة من 100؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 15. في الواقع المتوسط 203,6. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 200μ = 203,6σ = 15n = 100α = 0,05

1 − β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (11, 33). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(11, 33)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1002 × 2

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 1803 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · يزداد حجم العينة

لماذا هذه هي الإجابة

يقدّر الخطأ المعياري مقدار تفاوت متوسطات العينات حول متوسط المجتمع، والعينات الأكبر تعطي تقديرات أدق.

الإجابة

A · يزداد حجم العينة

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · زيادة القوة الإحصائية لاكتشاف تأثير حقيقي

لماذا هذه هي الإجابة

تقلّل العيّنات الأكبر الخطأ المعياري فتزيد القوة، لكنها لا تغيّر حجم التأثير الحقيقي ولا تزيل التحيّز المنهجي.

الإجابة

D · زيادة القوة الإحصائية لاكتشاف تأثير حقيقي

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 18,05

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 227/7 = 32,43

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 12,57² + (−12,43)² + 26,57² + (−9,429)² + (−17,43)² + 16,57² + (−16,43)² = 1956

الانحراف المعياري

s = √(1956/6) = 18,05

الإجابة

s = 18,05

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −0,8

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (420 − 500)/100 = −0,8

الإجابة

z = −0,8

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,41

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,15 + 4·0,25 = 2,3

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,15 + 16·0,25 = 6,7

التباين

Var(X) = 6,7 − 2,3² = 1,41

الإجابة

Var(X) = 1,41

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1936

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 4) = 495·0,25⁴·0,75⁸ = 495·0,003906·0,1001 = 0,1936

الإجابة

P = 0,1936

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3674

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (27,2 − 32)/6 = −0,8

z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,2) − Φ(−0,8) = 0,5793 − 0,2119 = 0,3674

الإجابة

P = 0,3674

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 62,5 درجة

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,4

z من الجدول

z ≈ −0,25

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 65 − 0,25·10 = 62,5 درجة

الإجابة

x = 62,5 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 48,86

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 9, t = 2,262

هامش الخطأ

E = 2,262·7,5/√10 = 5,365

الفترة

43,5 ± 5,365 → [38,14, 48,86]

الإجابة

الحد الأعلى = 48,86

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 31

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·7/2,5)² = 30,12

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 31

الإجابة

n = 31

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −3,1

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

إحصائية الاختبار

t = (84,5 − 100)/5 = −3,1

الإجابة

t = −3,1

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 77,49 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 15/√100 = 1,5

x̄_c = 200 + 1,645·1,5 = 202,5

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (202,5 − 203,6)/1,5 = −0,755

القدرة

القوة = P(Z > −0,755) = 77,49%

1 − β = 77,49%

الإجابة

1 − β = 77,49%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9856

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 432/6 = 72

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 392

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2260

معامل الارتباط

r = 392/√(70·2260) = 0,9856

الإجابة

r = 0,9856

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −5,248

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 152/6 = 25,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 226

خط الانحدار

b = 226/70 = 3,229

a = 25,33 − 3,229·7 = 2,733

ŷ = 2,733 + 3,229·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 2,733 + 3,229·11 = 38,25

البُواقي

e = 33 − 38,25 = −5,248

الإجابة

e = −5,248

تقع النقطة تحت الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 4,96

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الرجال: 60·70/100 = 42, 60·30/100 = 18

النساء: 40·70/100 = 28, 40·30/100 = 12

إحصاءة مربع كاي

χ² = (37 − 42)²/42 + (23 − 18)²/18 + (33 − 28)²/28 + (7 − 12)²/12

χ² = 4,96

الإجابة

χ² = 4,96

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 21,11

التكرارات المتوقَّعة

العمر 18–30: 42, 18

العمر 31–50: 42, 18

العمر 51+: 42, 18

إحصاءة مربع كاي

χ² = (55 − 42)²/42 + (5 − 18)²/18 + (33 − 42)²/42 + (27 − 18)²/18 + (38 − 42)²/42 + (22 − 18)²/18

χ² = 21,11

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

21,11 > 5,991

الإجابة

χ² = 21,11

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology