مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يريد باحث أن يختبر ما إذا كانت هناك علاقة بين الجنس (ذكر/أنثى) ونوع الأفلام المفضل (أربع فئات). أي اختبار مناسب؟

Aمعامل ارتباط بيرسون
Bاختبار كاي تربيع للاستقلال
Cتحليل التباين الأحادي
Dاختبار t للعينات المزدوجة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يجمع باحث بيانات في تسع نقاط زمنية ويختبر في كل مرة عند مستوى 5% دون تصحيح. ما المشكلة؟

Aلا توجد مشكلة في هذا الأسلوب
Bينخفض حجم التأثير مع كل اختبار
Cتصبح البيانات أكثر ثباتًا في كل مرة، فيكون الاختبار الأخير الأدق
Dيرتفع احتمال الحصول على نتيجة إيجابية كاذبة واحدة على الأقل كثيرًا فوق 5%

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 54, 41, 15, 57, 14.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأقل من 80؟

μ = 50σ = 20x = 80

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,15, 0,25, 0,3, 0,2

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €5 للمشاركة. تربح €25 باحتمال 0,15 و€100 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €5€25: p = 0,15€100: p = 0,05

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. ما النسبة التي تقع بين 248,75 و 257,75 g؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 250σ = 5x₁ = 248,75x₂ = 257,75

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال X وأطوال النساء Y في مجموعة مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 180 cm وانحراف معياري 10 cm، ولـ Y متوسط 170 cm وانحراف معياري 12 cm. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 7 مفردة متوسطها 60,5 وانحرافها المعياري s = 8. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 7x̄ = 60,5s = 899%t(6) = 3,707

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 10. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 0,5 على الأكثر؟

σ = 10E = 0,599%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 40 جزءًا متوسط طولها 98,5 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 13 mm. الخط 2: عينة من 80 جزءًا متوسطها 101,4 mm، والانحراف المعياري المعلوم 11 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 40x̄₁ = 98,5 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 80x̄₂ = 101,4 mmσ₂ = 11 mm

z =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 100 قياسًا متوسطها 119,9. الانحراف المعياري للمجتمع 10. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 119,9σ = 10n = 10099%

L =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 42Σy = 164Σx² = 364Σy² = 5368Σxy = 1396

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 17.

n = 6x = 17

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «حضري، منخفض».

مجموع الصف = 103مجموع العمود = 71N = 209

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 2 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟

2 × 2

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · اختبار كاي تربيع للاستقلال

لماذا هذه هي الإجابة

يقارن اختبار كاي تربيع التكرارات الملاحظة بالمتوقعة في جدول توافق لاختبار ما إذا كان متغيران فئويان مرتبطين.

الإجابة

B · اختبار كاي تربيع للاستقلال

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · يرتفع احتمال الحصول على نتيجة إيجابية كاذبة واحدة على الأقل كثيرًا فوق 5%

لماذا هذه هي الإجابة

مع تسعة اختبارات مستقلة يبلغ احتمال وقوع خطأ واحد على الأقل من النوع الأول نحو 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. وتعالج تصحيحات مثل بونفيروني ذلك.

الإجابة

D · يرتفع احتمال الحصول على نتيجة إيجابية كاذبة واحدة على الأقل كثيرًا فوق 5%

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 20,71

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 181/5 = 36,2

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 17,8² + 4,8² + (−21,2)² + 20,8² + (−22,2)² = 1715

الانحراف المعياري

s = √(1715/4) = 20,71

الإجابة

s = 20,71

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9332

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,528

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,1 + 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,2 = 2,35

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,2 = 7,05

التباين

Var(X) = 7,05 − 2,35² = 1,528

الإجابة

Var(X) = 1,528

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 3,75 €

النتائج الصافية

G: 20 (p = 0,15), 95 (p = 0,05), −5 (p = 0,8)

القيمة المتوقعة

E(G) = 20·0,15 + 95·0,05 − 5·0,8 = 3,75 €

الإجابة

E(G) = 3,75 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,5381

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (248,75 − 250)/5 = −0,25

z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,55) − Φ(−0,25) = 0,9394 − 0,4013 = 0,5381

الإجابة

P = 0,5381

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7389

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

الإجابة

P = 0,7389

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 71,71

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 6, t = 3,707

هامش الخطأ

E = 3,707·8/√7 = 11,21

الفترة

60,5 ± 11,21 → [49,29, 71,71]

الإجابة

الحد الأعلى = 71,71

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 2655

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·10/0,5)² = 2654

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 2655

الإجابة

n = 2655

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −1,211

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(13²/40 + 11²/80) = √5,737 = 2,395

إحصائية الاختبار

z = (98,5 − 101,4)/2,395 = −1,211

الإجابة

z = −1,211

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 117,3

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 2,576·10/√100 = 2,576

حد الفترة

L = 119,9 − 2,576 = 117,3

الإجابة

L = 117,3

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9962

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 1396 − 42·164/6 = 248

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 5368 − 164²/6 = 885,3

معامل الارتباط

r = 248/√(70·885,3) = 0,9962

الإجابة

r = 0,9962

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 67,19

المتوسطات

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 507/6 = 84,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 303

خط الانحدار

b = 303/70 = 4,329

a = 84,5 − 4,329·21 = −6,4

ŷ = −6,4 + 4,329·x

التنبؤ

ŷ = −6,4 + 4,329·17 = 67,19

الإجابة

ŷ = 67,19

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 34,99

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 103·71/209 = 34,99

الإجابة

E = 34,99

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 1

درجات الحرية

df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1

الإجابة

df = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology