مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

خصائص الطلب (demand characteristics) هي:

Aإشارات تجعل المشاركين يخمّنون الهدف ويغيّرون سلوكهم
Bالمتطلبات الإحصائية للاختبار
Cالمطالب الرسمية التي تفرضها لجنة الأخلاقيات قبل بدء الدراسة
Dخصائص العيّنة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تجد دراسة أن أثر الضغط النفسي في المرض أضعف لدى من لديهم دعم اجتماعي قوي. يعمل الدعم الاجتماعي هنا بوصفه:

Aمتغيرًا مُربِكًا
Bمتغيرًا معدِّلًا (moderator)
Cمتغيرًا تابعًا
Dمتغيرًا وسيطًا (mediator)

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 21, 46, 30, 52, 12.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 75. ما نسبة P القيم الأقل من 387,5؟

μ = 500σ = 75x = 387,5

P =

5.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 6 كرات حمراء و6 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

6 / 6

P =

6.الاحتمالصعبة

يُختبر 12 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,5. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 12p = 0,5

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 250 g وانحراف معياري 4 g؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 500 g وانحراف معياري 9 g. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 764,8 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 764,8 g

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 20% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

9.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 90% لمتوسط، مبنية على 100 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 11,4. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 95% مبنية على 25 مشاهدة؟

90%n₁ = 100E₁ = 11,495%n₂ = 25

E₂ =

10.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 10 قطعة، متوسط المحصول 14,5 kg، الانحراف المعياري 5 kg. مجموعة القطع 2: 11 قطعة، المتوسط 4,5 kg، الانحراف المعياري 6,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 14,5s₁ = 5n₂ = 11x̄₂ = 4,5s₂ = 6,599%t(19) = 2,861

الحد الأعلى = kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 120؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 12. متوسط عينة عشوائية من 144 مشاهدة هو 118,54. اختبر H₀: μ = 120 مقابل H₁: μ < 120. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 120σ = 12n = 144x̄ = 118,54H₁: μ < μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 49 قياسًا متوسطها 500,7. الانحراف المعياري للمجتمع 10. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 500,7σ = 10n = 4995%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 21Σy = 308Σx² = 91Σy² = 16454Σxy = 1182

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 48؟

n = 5ŷ = 48

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة الليلية، كبير».

مجموع الصف = 106مجموع العمود = 53N = 169

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 7 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · إشارات تجعل المشاركين يخمّنون الهدف ويغيّرون سلوكهم

لماذا هذه هي الإجابة

إذا استنتج المشاركون الفرضية فقد يتصرفون لتأكيدها أو إفسادها، مما يهدد الصدق. ويقلّل الخداع وإجراءات التعمية من ذلك.

الإجابة

A · إشارات تجعل المشاركين يخمّنون الهدف ويغيّرون سلوكهم

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · متغيرًا معدِّلًا (moderator)

لماذا هذه هي الإجابة

يغيّر المتغير المعدِّل قوة العلاقة بين متغيرين أو اتجاهها، أما المتغير الوسيط فيفسر الآلية التي يؤثر بها أحد المتغيرين في الآخر.

الإجابة

B · متغيرًا معدِّلًا (moderator)

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,74

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 161/5 = 32,2

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−11,2)² + 13,8² + (−2,2)² + 19,8² + (−20,2)² = 1121

الانحراف المعياري

s = √(1121/4) = 16,74

الإجابة

s = 16,74

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,06681

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

الإجابة

P = 0,06681

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2273

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0,2273

الإجابة

P = 0,2273

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,003174

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,5¹² = 0,0002441

P(X = 1) = 12·0,5·0,5¹¹ = 0,00293

اجمعها

P = 0,0002441 + 0,00293 = 0,003174

الإجابة

P = 0,003174

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,06681

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (764,8 − 750)/9,849 = 1,5

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681

الإجابة

P = 0,06681

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 172,1 cm

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,2

z من الجدول

z ≈ −0,84

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 − 0,84·7 = 172,1 cm

الإجابة

x = 172,1 cm

9.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 27,17

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(100/25) = 2,383

الهامش الجديد

E₂ = 11,4·2,383 = 27,17

الإجابة

E₂ = 27,17

10.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 17,3 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (9·5² + 10·6,5²)/19 = 34,08

s_p = 5,838

هامش الخطأ

E = 2,861·5,838·√(1/10 + 1/11) = 7,298

الفترة

10 ± 7,298 → [2,702, 17,3]

الإجابة

الحد الأعلى = 17,3 kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,07215

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 12/√144 = 1

z = (118,54 − 120)/1 = −1,46

مساحة الذيل

Φ(1,46) = 0,9279

1 − Φ(1,46) = 0,0721

القيمة الاحتمالية

p = 0,07215

الإجابة

p = 0,07215

p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 503,5

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,96·10/√49 = 2,8

حد الفترة

U = 500,7 + 2,8 = 503,5

الإجابة

U = 503,5

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9802

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 1182 − 21·308/6 = 104

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 16454 − 308²/6 = 643,3

معامل الارتباط

r = 104/√(17,5·643,3) = 0,9802

الإجابة

r = 0,9802

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 2,091

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 280/5 = 56

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

خط الانحدار

b = 110/40 = 2,75

a = 56 − 2,75·5 = 42,25

ŷ = 42,25 + 2,75·x

حلّ لإيجاد x

x = (48 − 42,25)/2,75 = 2,091

الإجابة

x = 2,091

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 33,24

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 106·53/169 = 33,24

الإجابة

E = 33,24

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 15,09

درجات الحرية

df = 7 − 1 − 1 = 5

الجدول

χ²_crit(df = 5, α = 0,01) = 15,086

الإجابة

χ²_crit = 15,086

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology