مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يشير الصدق البيئي إلى:

Aما إذا كان الاختبار يتنبأ بالسلوك المستقبلي
Bمدى قابلية تعميم النتائج على مواقف الحياة الواقعية
Cمدى اتساق الاختبار عبر الزمن
Dما إذا كان الاختبار يبدو أنه يقيس الشيء الصحيح

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يقارن باحث ثلاثة متوسطات أو أكثر. لماذا يُستخدم تحليل التباين الأحادي بدلًا من عدة اختبارات t؟

Aيجد تحليل التباين دائمًا تأثيرات أكبر مما تجده مجموعة اختبارات t المكافئة
Bلا تتعامل اختبارات t مع أعداد أكبر من 100
Cتؤدي الاختبارات المتعددة إلى تضخّم المعدل الكلي لخطأ النوع الأول
Dتحتاج اختبارات t إلى بيانات نوعية

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 24, 10, 13, 52, 36, 21, 52.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 60. ما نسبة P القيم الأقل من 575؟

μ = 500σ = 60x = 575

P =

5.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 2 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 2

P =

6.الاحتمالصعبة

يُختبر 11 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,1. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 11p = 0,1

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 70,75 و 127 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x₁ = 70,75x₂ = 127

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 80% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 500 hσ = 40 h80%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 30 مفردة متوسطها 13,5 وانحرافها المعياري s = 2. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 99% للمتوسط.

n = 30x̄ = 13,5s = 299%t(29) = 2,756

E =

10.فترات الثقةصعبة

لأقطار 15 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 6,3 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 14، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 5,629 و 2,5% فوق 26,119.

n = 15s = 6,3 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 7 طالبًا، متوسط الدرجة 42، الانحراف المعياري 4. المجموعة 2: 19 طالبًا، متوسط الدرجة 37,9، الانحراف المعياري 4. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 7x̄₁ = 42s₁ = 4n₂ = 19x̄₂ = 37,9s₂ = 4

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 1 وحدة بقوة 95%. الانحراف المعياري 6. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,05القوة = 95%δ = 1σ = 6z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 19,5.

n = 6x = 19,5

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة الليلية، كبير».

مجموع الصف = 83مجموع العمود = 69N = 142

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 11 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 11

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · مدى قابلية تعميم النتائج على مواقف الحياة الواقعية

لماذا هذه هي الإجابة

يتعلق الصدق البيئي بما إذا كانت النتائج تنطبق على المواقف اليومية، وكثيرًا ما تكون الدراسات المخبرية شديدة الضبط منخفضة فيه.

الإجابة

B · مدى قابلية تعميم النتائج على مواقف الحياة الواقعية

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · تؤدي الاختبارات المتعددة إلى تضخّم المعدل الكلي لخطأ النوع الأول

لماذا هذه هي الإجابة

إجراء اختبارات ثنائية كثيرة يضاعف فرصة النتيجة الإيجابية الكاذبة. يختبر تحليل التباين جميع المجموعات معًا، ثم تُجرى اختبارات بعدية مصحّحة.

الإجابة

C · تؤدي الاختبارات المتعددة إلى تضخّم المعدل الكلي لخطأ النوع الأول

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,37

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 208/7 = 29,71

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−5,714)² + (−19,71)² + (−16,71)² + 22,29² + 6,286² + (−8,714)² + 22,29² = 1809

الانحراف المعياري

s = √(1809/6) = 17,37

الإجابة

s = 17,37

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8944

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,25

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

الإجابة

P = 0,8944

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,3056

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

الإجابة

P = 0,3056

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,6974

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,9¹¹ = 0,3138

P(X = 1) = 11·0,1·0,9¹⁰ = 0,3835

اجمعها

P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974

الإجابة

P = 0,6974

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9385

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95

z₂ = (127 − 100)/15 = 1,8

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,8) − Φ(−1,95) = 0,9641 − 0,02559 = 0,9385

الإجابة

P = 0,9385

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 534 h

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,8

z من الجدول

z ≈ 0,84

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 500 + 0,84·40 = 534 h

الإجابة

x = 534 h

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 1,006

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 29, t = 2,756

هامش الخطأ

E = 2,756·2/√30 = 1,006

الإجابة

E = 1,006

10.فترات الثقة

الإجابة: σ = 4,612 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 14·6,3² = 555,7

حدّا σ²

555,7/26,119 = 21,27

555,7/5,629 = 98,71

حدّ σ

σ = √21,27 = 4,612 µm

الإجابة

σ = 4,612 µm

فترة 95% لـ σ: [4,612, 9,935] µm.

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,318

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (6·4² + 18·4²)/24 = 16

s_p = 4

الخطأ المعياري

SE = 4·√(1/7 + 1/19) = 1,769

إحصائية الاختبار

t = (42 − 37,9)/1,769 = 2,318

الإجابة

t = 2,318

مع df = 24، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,064؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 390

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((1,645 + 1,645)·6/1)² = 389,7

قرّب إلى الأعلى

n = 390

الإجابة

n = 390

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,996

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 391/6 = 65,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 289

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1203

معامل الارتباط

r = 289/√(70·1203) = 0,996

الإجابة

r = 0,996

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 90,5

المتوسطات

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 722/6 = 120,3

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 783

خط الانحدار

b = 783/157,5 = 4,971

a = 120,3 − 4,971·25,5 = −6,438

ŷ = −6,438 + 4,971·x

التنبؤ

ŷ = −6,438 + 4,971·19,5 = 90,5

الإجابة

ŷ = 90,5

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 40,33

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 83·69/142 = 40,33

الإجابة

E = 40,33

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 10

درجات الحرية

df = 11 − 1 = 10

الإجابة

df = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology