مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

تقارن دراسة مستعرضة بين أشخاص أعمارهم 20 و40 و60 عامًا في استخدام التكنولوجيا في الوقت نفسه. أي مشكلة قد تُربك المقارنة العمرية؟

Aآثار الأتراب (الجيل)
Bآثار الممارسة
Cآثار الأرضية
Dآثار الترتيب

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

في انحدار متعدد يتنبأ بدرجات الامتحان من ساعات الدراسة والنوم، R² = 0,36. ماذا يعني ذلك؟

Aنجح 36% من الطلاب في الامتحان
Bساعات الدراسة تسبب 36% من النجاح في الامتحان
Cالمتنبئات معًا تفسر 36% من التباين في درجات الامتحان
Dالارتباط بين المتنبئات يساوي 0,36

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 11, 55, 52, 56, 20.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 5. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 76,25.

μ = 70σ = 5x = 76,25

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,1, 0,3, 0,2, 0,25

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 2X + 5. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,25, 0,25, 0,35Y = 2X + 5

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. ما النسبة التي تقع بين 468 و 542 h؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 500σ = 40x₁ = 468x₂ = 542

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 20% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 مفردة متوسطها 77,5 وانحرافها المعياري s = 10,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 25x̄ = 77,5s = 10,595%t(24) = 2,064

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للنسبة 0,02 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0299%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 80 جزءًا متوسط طولها 91,5 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 12 mm. الخط 2: عينة من 40 جزءًا متوسطها 98,1 mm، والانحراف المعياري المعلوم 10 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 80x̄₁ = 91,5 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 40x̄₂ = 98,1 mmσ₂ = 10 mm

z =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 1 وحدة بقوة 80%. الانحراف المعياري 10. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,05القوة = 80%δ = 1σ = 10z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (2,5, 24). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 24)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الموظفون، الحافلة».

مجموع الصف = 82مجموع العمود = 58N = 155

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 8 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 8

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · آثار الأتراب (الجيل)

لماذا هذه هي الإجابة

نشأت الفئات العمرية المختلفة في ظروف تاريخية مختلفة، فقد تعكس الفروق الجيلَ (الأتراب) لا التقدم في السن نفسه.

الإجابة

A · آثار الأتراب (الجيل)

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · المتنبئات معًا تفسر 36% من التباين في درجات الامتحان

لماذا هذه هي الإجابة

تُظهر R² مقدار التباين في النتيجة الذي تفسره جميع المتنبئات معًا، ولا تثبت السببية.

الإجابة

C · المتنبئات معًا تفسر 36% من التباين في درجات الامتحان

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 21,56

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 194/5 = 38,8

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−27,8)² + 16,2² + 13,2² + 17,2² + (−18,8)² = 1859

الانحراف المعياري

s = √(1859/4) = 21,56

الإجابة

s = 21,56

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1,25

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (76,25 − 70)/5 = 1,25

الإجابة

z = 1,25

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,81

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,15 + 2·0,1 + 3·0,3 + 4·0,2 + 5·0,25 = 3,3

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,1 + 9·0,3 + 16·0,2 + 25·0,25 = 12,7

التباين

Var(X) = 12,7 − 3,3² = 1,81

الإجابة

Var(X) = 1,81

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 2,154

تشتت X

μ = 1,8, Var(X) = 1,16, σ_X = 1,077

التغيير الخطي

σ_Y = |2|·1,077 = 2,154

الإجابة

σ_Y = 2,154

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 2·1,8 + 5 = 8,6.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6413

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (468 − 500)/40 = −0,8

z₂ = (542 − 500)/40 = 1,05

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,05) − Φ(−0,8) = 0,8531 − 0,2119 = 0,6413

الإجابة

P = 0,6413

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 254,2 g

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,8

z من الجدول

z ≈ 0,84

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

الإجابة

x = 254,2 g

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 73,17

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 24, t = 2,064

هامش الخطأ

E = 2,064·10,5/√25 = 4,334

الفترة

77,5 ± 4,334 → [73,17, 81,83]

الإجابة

الحد الأدنى = 73,17

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 4148

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,02² = 4147

قرّب إلى الأعلى

n = 4148

الإجابة

n = 4148

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −3,183

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(12²/80 + 10²/40) = √4,3 = 2,074

إحصائية الاختبار

z = (91,5 − 98,1)/2,074 = −3,183

الإجابة

z = −3,183

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 619

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((1,645 + 0,842)·10/1)² = 618,5

قرّب إلى الأعلى

n = 619

الإجابة

n = 619

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9147

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 99/6 = 16,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 37,5

معامل التحديد

r² = −24,5²/(17,5·37,5) = 0,9147

الإجابة

r² = 0,9147

نحو 91,47% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 3,6

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 97/5 = 19,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

خط الانحدار

b = −20/10 = −2

a = 19,4 − (−2)·3 = 25,4

ŷ = 25,4 − 2·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 25,4 + (−2)·2,5 = 20,4

البُواقي

e = 24 − 20,4 = 3,6

الإجابة

e = 3,6

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 30,68

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 82·58/155 = 30,68

الإجابة

E = 30,68

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 6

درجات الحرية

df = 8 − 1 − 1 = 6

الإجابة

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology