مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يرسل باحث استبيانًا إلى جميع الطلاب، ثم يطلب من المستجيبين استقطاب أصدقاء يستخدمون أيضًا تطبيقًا نادرًا للنوم. أي طريقة معاينة تُستخدم في الخطوة الثانية؟

Aمعاينة كرة الثلج
Bالمعاينة الطبقية
Cالمعاينة المنتظمة
Dالمعاينة العشوائية

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يُجري باحث خمسة اختبارات t ويريد إبقاء معدل الخطأ الكلي من النوع الأول عند 0,05 باستخدام تصحيح بونفيروني. ما مستوى الدلالة الذي يجب استخدامه لكل اختبار؟

A0,25
B0,025
C0,05
D0,01

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 31, 17, 55, 47, 30, 12, 27.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأقل من 82,5؟

μ = 60σ = 15x = 82,5

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,2, 0,25, 0,3

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €3 للمشاركة. تربح €9 باحتمال 0,25 و€30 باحتمال 0,02؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €3€9: p = 0,25€30: p = 0,02

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,8198. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,8198

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,02 mm وانحراف معياري 0,01 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 50 هاتفًا، المتوسط 40 h، الانحراف المعياري المعلوم 18 h. الطراز 2: 60 هاتفًا، المتوسط 37 h، الانحراف المعياري المعلوم 9 h. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 40 hσ₁ = 18 hn₂ = 60x̄₂ = 37 hσ₂ = 9 h90%

الحد الأدنى = h

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 12. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 1 على الأكثر؟

σ = 12E = 190%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 49 طالبًا متوسط درجاتها 198,7 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,7s = 4n = 49

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 100 قياسًا متوسطها 201,9. الانحراف المعياري للمجتمع 8. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 201,9σ = 8n = 10099%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 42Σy = 97Σx² = 364Σy² = 1869Σxy = 822

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 2.

n = 5x = 2

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1002 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2603 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · معاينة كرة الثلج

لماذا هذه هي الإجابة

معاينة كرة الثلج مفيدة للمجموعات التي يصعب الوصول إليها، لكن من المرجح أن تتشارك العينة خصائص معينة فلا تكون ممثِّلة.

الإجابة

A · معاينة كرة الثلج

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · 0,01

لماذا هذه هي الإجابة

يقسم تصحيح بونفيروني α على عدد المقارنات: 0,05 / 5 = 0,01. وهو بسيط لكنه متحفظ، مما يزيد خطر الأخطاء من النوع الثاني.

الإجابة

D · 0,01

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,3

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 219/7 = 31,29

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−0,2857)² + (−14,29)² + 23,71² + 15,71² + (−1,286)² + (−19,29)² + (−4,286)² = 1405

الانحراف المعياري

s = √(1405/6) = 15,3

الإجابة

s = 15,3

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9332

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,34

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,3 = 1,6

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,3 = 3,9

التباين

Var(X) = 3,9 − 1,6² = 1,34

الإجابة

Var(X) = 1,34

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = −0,15 €

النتائج الصافية

G: 6 (p = 0,25), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,73)

القيمة المتوقعة

E(G) = 6·0,25 + 27·0,02 − 3·0,73 = −0,15 €

الإجابة

E(G) = −0,15 €

القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,34

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,8198)/2 = 0,9099

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9099 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,34

الإجابة

z = 1,34

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8133

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

الإجابة

P = 0,8133

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −1,603 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 40 − 37 = 3

الخطأ المعياري

SE = √(18²/50 + 9²/60) = 2,798

هامش الخطأ

E = 1,645·2,798 = 4,603

الفترة

3 ± 4,603 → [−1,603, 7,603]

الإجابة

الحد الأدنى = −1,603 h

الفترة تحتوي على 0، لذا لا تُظهر البيانات فرقًا دالًّا إحصائيًا.

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 390

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·12/1)² = 389,7

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 390

الإجابة

n = 390

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,275

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714

إحصائية الاختبار

t = (198,7 − 200)/0,5714 = −2,275

الإجابة

t = −2,275

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 204

هامش الخطأ

E = 2,576·8/√100 = 2,061

حد الفترة

U = 201,9 + 2,061 = 204

الإجابة

U = 204

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9854

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 822 − 42·97/6 = 143

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 1869 − 97²/6 = 300,8

معامل الارتباط

r = 143/√(70·300,8) = 0,9854

الإجابة

r = 0,9854

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 48,2

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 325/5 = 65

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224

خط الانحدار

b = 224/40 = 5,6

a = 65 − 5,6·5 = 37

ŷ = 37 + 5,6·x

التنبؤ

ŷ = 37 + 5,6·2 = 48,2

الإجابة

ŷ = 48,2

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 18

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

حضري: 40·50/100 = 20, 40·25/100 = 10, 40·25/100 = 10

ريفي: 60·50/100 = 30, 60·25/100 = 15, 60·25/100 = 15

إحصاءة مربع كاي

χ² = (14 − 20)²/20 + (7 − 10)²/10 + (19 − 10)²/10 + (36 − 30)²/30 + (18 − 15)²/15 + (6 − 15)²/15

χ² = 18

الإجابة

χ² = 18

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 51,66

التكرارات المتوقَّعة

العمر 18–30: 64, 16

العمر 31–50: 64, 16

العمر 51+: 80, 20

إحصاءة مربع كاي

χ² = (79 − 64)²/64 + (1 − 16)²/16 + (71 − 64)²/64 + (9 − 16)²/16 + (58 − 80)²/80 + (42 − 20)²/20

χ² = 51,66

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

51,66 > 5,991

الإجابة

χ² = 51,66

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology