الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
يريد باحث أن يختبر ما إذا كانت هناك علاقة بين الجنس (ذكر/أنثى) ونوع الأفلام المفضل (أربع فئات). أي اختبار مناسب؟
- Aاختبار t للعينات المزدوجة
- Bمعامل ارتباط بيرسون
- Cتحليل التباين الأحادي
- Dاختبار كاي تربيع للاستقلال
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
في التحليل الموضوعاتي، يقوم المحلل أساسًا بـ:
- Aاختبار فرضية رقمية
- Bعدّ تكرار الكلمات فقط
- Cيحسب متوسط درجات كل موضوع ليقارن بينها إحصائيًا
- Dتحديد أنماط المعنى المتكررة في البيانات النوعية
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 31, 17, 59, 34, 22, 47, 36.
n = 7
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 8. ما نسبة P القيم الأكبر من 60,4؟
μ = 70σ = 8x = 60,4
P =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,3, 0,1
σ =
6.الاحتمالصعبة
للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 0,5X − 3. أوجد الانحراف المعياري σY للمتغير Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,35, 0,15, 0,15Y = 0,5X − 3
σY =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
X طبيعي بمتوسط 60 s وانحراف معياري 5 s؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 45 s وانحراف معياري 4 s. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 111,4 s. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 111,4 s
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 5% منها (المئين 5).
μ = 65σ = 10P = 5%
x = درجة
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 25 مفردة متوسطها 85,5 وانحرافها المعياري s = 3,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.
n = 25x̄ = 85,5s = 3,590%t(24) = 1,711
الحد الأدنى =
10.فترات الثقةصعبة
يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 7 قطعة، متوسط المحصول 13 kg، الانحراف المعياري 8 kg. مجموعة القطع 2: 5 قطعة، المتوسط 7,5 kg، الانحراف المعياري 1 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 7x̄₁ = 13s₁ = 8n₂ = 5x̄₂ = 7,5s₂ = 190%t(10) = 1,812
الحد الأعلى = kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 124,5 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 124,5s = 15n = 64
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 53 من 150 مريضًا على العلاج A، و 47 من 100 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 53n₁ = 150x₂ = 47n₂ = 100
z =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.
n = 6Σx = 48Σy = 609Σx² = 454Σy² = 64683Σxy = 5319
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 63؟
n = 5ŷ = 63
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 2402 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 6 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · اختبار كاي تربيع للاستقلال
لماذا هذه هي الإجابة
يقارن اختبار كاي تربيع التكرارات الملاحظة بالمتوقعة في جدول توافق لاختبار ما إذا كان متغيران فئويان مرتبطين.
الإجابة
D · اختبار كاي تربيع للاستقلال
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · تحديد أنماط المعنى المتكررة في البيانات النوعية
لماذا هذه هي الإجابة
يشمل التحليل الموضوعاتي الإلمام بالبيانات والترميز وتوليد الموضوعات ومراجعتها وتسميتها ثم الكتابة، ويركّز على المعنى لا على الإحصاء.
الإجابة
D · تحديد أنماط المعنى المتكررة في البيانات النوعية
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 14,32
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 246/7 = 35,14
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−4,143)² + (−18,14)² + 23,86² + (−1,143)² + (−13,14)² + 11,86² + 0,8571² = 1231
الانحراف المعياري
s = √(1231/6) = 14,32
الإجابة
s = 14,32
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,8849
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −1,2
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
الإجابة
P = 0,8849
5.الاحتمال
الإجابة: σ = 1,96
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,3 + 6·0,1 = 2,4
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,3 + 36·0,1 = 9,6
التباين
Var(X) = 9,6 − 2,4² = 3,84
σ = √3,84 = 1,96
الإجابة
σ = 1,96
6.الاحتمال
الإجابة: σY = 0,522
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
تشتت X
μ = 1,1, Var(X) = 1,09, σX = 1,044
التغيير الخطي
σY = |0,5|·1,044 = 0,522
الإجابة
σY = 0,522
المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 0,5·1,1 − 3 = −2,45.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,1587
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع المجموع
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (111,4 − 105)/6,403 = 1
الذيل العلوي
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
الإجابة
P = 0,1587
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 48,55 درجة
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
العودة إلى x
x = 65 + −1,645·10 = 48,55 درجة
الإجابة
x = 48,55 درجة
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = 84,3
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 24, t = 1,711
هامش الخطأ
E = 1,711·3,5/√25 = 1,198
الفترة
85,5 ± 1,198 → [84,3, 86,7]
الإجابة
الحد الأدنى = 84,3
10.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 12,11 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الانحراف المعياري المجمَّع
sp² = (6·8² + 4·1²)/10 = 38,8
sp = 6,229
هامش الخطأ
E = 1,812·6,229·√(1/7 + 1/5) = 6,609
الفترة
5,5 ± 6,609 → [−1,109, 12,11]
الإجابة
الحد الأعلى = 12,11 kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 2,4
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875
إحصائية الاختبار
t = (124,5 − 120)/1,875 = 2,4
الإجابة
t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = −1,845
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 53/150 = 0,3533
p̂₂ = 47/100 = 0,47
p̂ = 100/250 = 0,4
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,4·0,6·(1/150 + 1/100)) = 0,06325
إحصائية الاختبار
z = (0,3533 − 0,47)/0,06325 = −1,845
الإجابة
z = −1,845
|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9974
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المجاميع الممركَزة
Sxy = 5319 − 48·609/6 = 447
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 64683 − 609²/6 = 2870
معامل الارتباط
r = 447/√(70·2870) = 0,9974
الإجابة
r = 0,9974
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 19,58
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 393/5 = 78,6
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 318
خط الانحدار
b = 318/90 = 3,533
a = 78,6 − 3,533·24 = −6,2
ŷ = −6,2 + 3,533·x
حلّ لإيجاد x
x = (63 − (−6,2))/3,533 = 19,58
الإجابة
x = 19,58
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 7,466
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
حضري: 120·48/240 = 24, 120·108/240 = 54, 120·84/240 = 42
ريفي: 120·48/240 = 24, 120·108/240 = 54, 120·84/240 = 42
إحصاءة مربع كاي
χ² = (22 − 24)²/24 + (46 − 54)²/54 + (52 − 42)²/42 + (26 − 24)²/24 + (62 − 54)²/54 + (32 − 42)²/42
χ² = 7,466
الإجابة
χ² = 7,466
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 13,28
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 6 − 1 − 1 = 4
الجدول
χ²crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277
الإجابة
χ²crit = 13,277
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology