الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
أي اختبار يقارن بين مجموعتين مستقلتين عندما تكون البيانات رتبية أو غير طبيعية بوضوح؟
- Aاختبار t للعينات المستقلة
- Bاختبار مان–ويتني U
- Cاختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة
- Dاختبار كاي تربيع
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
زيادة حجم العيّنة في دراسة تؤدي بشكل مباشر أكثر إلى:
- Aإزالة كل تحيّز من العيّنة
- Bيضمن نتيجة دالة إحصائيًا إن وُجد أي تأثير
- Cزيادة القوة الإحصائية لاكتشاف تأثير حقيقي
- Dزيادة حجم التأثير
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 46, 18, 11, 52, 12, 32.
n = 6
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 75. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 612,5.
μ = 500σ = 75x = 612,5
z =
5.الاحتمالمتوسطة
يُرمى حجر نرد منتظم 5 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟
n = 5
P =
6.الاحتمالصعبة
تكلفة لعبة €5 للمشاركة. تربح €10 باحتمال 0,3 و€50 باحتمال 0,01؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.
مبلغ المشاركة = €5€10: p = 0,3€50: p = 0,01
E(G) = €
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
كتل الصناديق مستقلة وطبيعية بمتوسط 12 kg وانحراف معياري 0,8 kg. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 12 منها 141,2 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12> 141,2 kg
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 70% على يساره. أوجد حد القطع x.
μ = 65 درجةσ = 10 درجة70%
x = درجة
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 50 هاتفًا، المتوسط 57 h، الانحراف المعياري المعلوم 7 h. الطراز 2: 30 هاتفًا، المتوسط 49 h، الانحراف المعياري المعلوم 4 h. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 57 hσ₁ = 7 hn₂ = 30x̄₂ = 49 hσ₂ = 4 h90%
الحد الأدنى = h
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 19. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 3 على الأكثر؟
σ = 19E = 399%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يجري 16 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق 1,99 والانحراف المعياري للفروق 2,1. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = 1,99sd = 2,1
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 54 من 120 مريضًا على العلاج A، و 174 من 300 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 54n₁ = 120x₂ = 174n₂ = 300
z =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (2,5, 20). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 5(2,5, 20)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 2002 × 2
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 4 أعمدة (دون احتساب المجاميع). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · اختبار مان–ويتني U
لماذا هذه هي الإجابة
يقارن اختبار مان–ويتني U الرتب بين مجموعتين غير مترابطتين، أما اختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة فللعينات المترابطة.
الإجابة
B · اختبار مان–ويتني U
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · زيادة القوة الإحصائية لاكتشاف تأثير حقيقي
لماذا هذه هي الإجابة
تقلّل العيّنات الأكبر الخطأ المعياري فتزيد القوة، لكنها لا تغيّر حجم التأثير الحقيقي ولا تزيل التحيّز المنهجي.
الإجابة
C · زيادة القوة الإحصائية لاكتشاف تأثير حقيقي
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 17,66
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 171/6 = 28,5
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 17,5² + (−10,5)² + (−17,5)² + 23,5² + (−16,5)² + 3,5² = 1560
الانحراف المعياري
s = √(1560/5) = 17,66
الإجابة
s = 17,66
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 1,5
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (612,5 − 500)/75 = 1,5
الإجابة
z = 1,5
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,5981
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
الحدث المتمم
P(لا ستة) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
الإجابة
P = 0,5981
6.الاحتمال
الإجابة: E(G) = −1,5 €
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
النتائج الصافية
G: 5 (p = 0,3), 45 (p = 0,01), −5 (p = 0,69)
القيمة المتوقعة
E(G) = 5·0,3 + 45·0,01 − 5·0,69 = −1,5 €
الإجابة
E(G) = −1,5 €
القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,8438
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع المجموع الكلي
μT = 144 kg, σT = 0,8·√12 = 2,771 kg
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (141,2 − 144)/2,771 = −1,01
الاحتمال
P = 1 − Φ(−1,01) = 0,8438
الإجابة
P = 0,8438
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 70,2 درجة
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,7
z من الجدول
z ≈ 0,52
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 65 + 0,52·10 = 70,2 درجة
الإجابة
x = 70,2 درجة
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = 5,976 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
التقدير النقطي
x̄₁ − x̄₂ = 57 − 49 = 8
الخطأ المعياري
SE = √(7²/50 + 4²/30) = 1,23
هامش الخطأ
E = 1,645·1,23 = 2,024
الفترة
8 ± 2,024 → [5,976, 10,02]
الإجابة
الحد الأدنى = 5,976 h
الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 267
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (2,576·19/3)² = 266,2
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 267
الإجابة
n = 267
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 3,79
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
الخطأ المعياري لمتوسط الفروق
SE = 2,1/√16 = 0,525
إحصائية الاختبار
t = 1,99/0,525 = 3,79
الإجابة
t = 3,79
مع df = 15، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,131؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = −2,416
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 54/120 = 0,45
p̂₂ = 174/300 = 0,58
p̂ = 228/420 = 0,5429
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,5429·0,4571·(1/120 + 1/300)) = 0,05381
إحصائية الاختبار
z = (0,45 − 0,58)/0,05381 = −2,416
الإجابة
z = −2,416
|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,922
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 112/6 = 18,67
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42
Syy = Σ(y − ȳ)² = 109,3
معامل التحديد
r² = −42²/(17,5·109,3) = 0,922
الإجابة
r² = 0,922
نحو 92,2% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = −3,9
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 114/5 = 22,8
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
خط الانحدار
b = −22/10 = −2,2
a = 22,8 − (−2,2)·3 = 29,4
ŷ = 29,4 − 2,2·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 29,4 + (−2,2)·2,5 = 23,9
البُواقي
e = 20 − 23,9 = −3,9
الإجابة
e = −3,9
تقع النقطة تحت الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 10,19
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
الرجال: 120·110/200 = 66, 120·90/200 = 54
النساء: 80·110/200 = 44, 80·90/200 = 36
إحصاءة مربع كاي
χ² = (77 − 66)²/66 + (43 − 54)²/54 + (33 − 44)²/44 + (47 − 36)²/36
χ² = 10,19
الإجابة
χ² = 10,19
df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 7,815
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3
الجدول
χ²crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815
الإجابة
χ²crit = 7,815
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology