مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يحدث خطأ من النوع الأول عندما يقوم الباحث بـ:

Aعدم رفض فرضية صفرية خاطئة
Bرفض فرضية صفرية صحيحة في الواقع
Cجمع بيانات كثيرة جدًا
Dاستخدام اختبار إحصائي غير مناسب

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تستخدم دراسة للذاكرة تصميم القياسات المتكررة يتعلم فيه الجميع القائمة A ثم القائمة B، ويكون الاستدعاء أفضل للقائمة B. ما العيب الأرجح؟

Aاستخدام مستوى قياس رتبي
Bحجم عينة كبير جدًا
Cالفروق الفردية بين المجموعات
Dآثار الترتيب مثل الممارسة، لأن الشروط لم تُوازَن

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 22, 33, 20, 57, 47, 15, 11.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 40. ما نسبة P القيم الأكبر من 516؟

μ = 500σ = 40x = 516

P =

5.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 4 أشخاص من مجموعة من 12؟ الترتيب غير مهم.

n = 12k = 4

N =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = −2X + 4. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,3, 0,3, 0,3Y = −2X + 4

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,8212. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,8212

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 97,5% منها (المئين 97,5).

μ = 100σ = 15P = 97,5%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 16 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −0,5 وانحرافها المعياري 2,3. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% لمتوسط الفروق.

n = 16d̄ = −0,5s_d = 2,395%t(15) = 2,131

الحد الأعلى = mmHg

10.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 8 قطعة، متوسط المحصول 84,5 kg، الانحراف المعياري 7,5 kg. مجموعة القطع 2: 6 قطعة، المتوسط 83,5 kg، الانحراف المعياري 6,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 84,5s₁ = 7,5n₂ = 6x̄₂ = 83,5s₂ = 6,599%t(12) = 3,055

الحد الأعلى = kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 501,7 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,7s = 12n = 25

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 3 وحدة بقوة 95%. الانحراف المعياري 9. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,05القوة = 95%δ = 3σ = 9z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 5.

n = 6x = 5

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2002 × 2

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 9 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 9

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · رفض فرضية صفرية صحيحة في الواقع

لماذا هذه هي الإجابة

يدّعي خطأ النوع الأول وجود تأثير غير موجود، واحتماله يساوي مستوى الدلالة (غالبًا 0,05). أما خطأ النوع الثاني فيُغفل تأثيرًا حقيقيًا.

الإجابة

B · رفض فرضية صفرية صحيحة في الواقع

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · آثار الترتيب مثل الممارسة، لأن الشروط لم تُوازَن

لماذا هذه هي الإجابة

عندما يمر جميع المشاركين بالشروط بالترتيب نفسه قد يعكس التحسن الممارسةَ لا القائمة. وتضبط الموازنة (ABBA أو نصفهم AB ونصفهم BA) ذلك.

الإجابة

D · آثار الترتيب مثل الممارسة، لأن الشروط لم تُوازَن

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,19

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 205/7 = 29,29

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−7,286)² + 3,714² + (−9,286)² + 27,71² + 17,71² + (−14,29)² + (−18,29)² = 1773

الانحراف المعياري

s = √(1773/6) = 17,19

الإجابة

s = 17,19

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,3446

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 0,4

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

الإجابة

P = 0,3446

5.الاحتمال

الإجابة: N = 495

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495

الإجابة

N = 495

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 3,919

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 3,6, Var(X) = 3,84, σ_X = 1,96

التغيير الخطي

σ_Y = |−2|·1,96 = 3,919

الإجابة

σ_Y = 3,919

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = −2·3,6 + 4 = −3,2.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −0,92

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,8212 = 0,1788

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,1788 داخل الجدول واقرأ z.

z = −0,92

الإجابة

z = −0,92

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 129,4 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

العودة إلى x

x = 100 + 1,96·15 = 129,4 درجة

الإجابة

x = 129,4 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 0,7253 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 15, t = 2,131

هامش الخطأ

E = 2,131·2,3/√16 = 1,225

الفترة

−0,5 ± 1,225 → [−1,725, 0,7253]

الإجابة

الحد الأعلى = 0,7253 mmHg

10.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 12,71 kg

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (7·7,5² + 5·6,5²)/12 = 50,42

s_p = 7,1

هامش الخطأ

E = 3,055·7,1·√(1/8 + 1/6) = 11,71

الفترة

1 ± 11,71 → [−10,71, 12,71]

الإجابة

الحد الأعلى = 12,71 kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 0,7083

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

إحصائية الاختبار

t = (501,7 − 500)/2,4 = 0,7083

الإجابة

t = 0,7083

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 98

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((1,645 + 1,645)·9/3)² = 97,42

قرّب إلى الأعلى

n = 98

الإجابة

n = 98

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9845

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 479/6 = 79,83

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 373

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2019

معامل التحديد

r² = 373²/(70·2019) = 0,9845

الإجابة

r² = 0,9845

نحو 98,45% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 18,46

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 156/6 = 26

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 264

خط الانحدار

b = 264/70 = 3,771

a = 26 − 3,771·7 = −0,4

ŷ = −0,4 + 3,771·x

التنبؤ

ŷ = −0,4 + 3,771·5 = 18,46

الإجابة

ŷ = 18,46

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 13,19

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المدخّنون: 120·70/200 = 42, 120·130/200 = 78

غير المدخّنين: 80·70/200 = 28, 80·130/200 = 52

إحصاءة مربع كاي

χ² = (54 − 42)²/42 + (66 − 78)²/78 + (16 − 28)²/28 + (64 − 52)²/52

χ² = 13,19

الإجابة

χ² = 13,19

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 8

درجات الحرية

df = 9 − 1 = 8

الإجابة

df = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology