مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

في التوزيع الطبيعي التام:

Aتقع معظم الدرجات في الذيلين
Bيكون المتوسط دائمًا أكبر من الوسيط
Cيكون المنوال أدنى درجة
Dيتساوى المتوسط والوسيط والمنوال

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يريد باحث أن يختبر ما إذا كانت طريقة تدريس جديدة تسبب درجات أفضل، لكنه لا يستطيع توزيع الطلاب عشوائيًا. أي تصميم يعطي أقوى دليل سببي في هذه الحالة؟

Aمقارنة صفوف متطابقة تُقاس قبل التدريس وبعده، مع مجموعة مقارنة
Bقياس الصف الذي يستخدم الطريقة الجديدة فقط بعد التدريس
Cسؤال الطلاب عما إذا كانوا يظنون أن الطريقة نجحت
Dحساب الارتباط بين الدرجات ومدى حب الطلاب للمعلم

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 47, 33, 51, 22, 54.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 115.

μ = 100σ = 10x = 115

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,2, 0,2, 0,25, 0,05

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

يُختبر 9 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,25. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 9p = 0,25

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل الركاب مع أمتعتهم مستقلة وطبيعية بمتوسط 85 kg وانحراف معياري 12 kg. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 4 منها 304 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4> 304 kg

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 7 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 3,8 وانحرافها المعياري 5,2. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% لمتوسط الفروق.

n = 7d̄ = 3,8s_d = 5,299%t(6) = 3,707

الحد الأعلى = mmHg

10.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,7 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للنسبة 0,025 على الأكثر؟

p ≈ 0,7E = 0,02599%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 100 طالبًا متوسط درجاتها 123,6 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 123,6s = 15n = 100

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 16 قياسًا متوسطها 108,3. الانحراف المعياري للمجتمع 15. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 108,3σ = 15n = 1699%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 30Σy = 134Σx² = 220Σy² = 4372Σxy = 980

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (24, 93). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(24, 93)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2202 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2403 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · يتساوى المتوسط والوسيط والمنوال

لماذا هذه هي الإجابة

التوزيع الطبيعي متناظر وجرسي الشكل، فتقع مقاييس النزعة المركزية الثلاثة جميعها في المركز.

الإجابة

D · يتساوى المتوسط والوسيط والمنوال

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · مقارنة صفوف متطابقة تُقاس قبل التدريس وبعده، مع مجموعة مقارنة

لماذا هذه هي الإجابة

يضبط تصميم المجموعات غير المتكافئة مع قياس قبلي وبعدي الفروقَ الأولية والتغيرَ عبر الزمن، وإن كان أضعف من التجربة العشوائية.

الإجابة

A · مقارنة صفوف متطابقة تُقاس قبل التدريس وبعده، مع مجموعة مقارنة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,5

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 207/5 = 41,4

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 5,6² + (−8,4)² + 9,6² + (−19,4)² + 12,6² = 729,2

الانحراف المعياري

s = √(729,2/4) = 13,5

الإجابة

s = 13,5

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1,5

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (115 − 100)/10 = 1,5

الإجابة

z = 1,5

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,648

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,3 + 2·0,2 + 3·0,2 + 4·0,25 + 5·0,05 = 2,55

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,2 + 9·0,2 + 16·0,25 + 25·0,05 = 8,15

التباين

Var(X) = 8,15 − 2,55² = 1,648

الإجابة

Var(X) = 1,648

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,3003

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,75⁹ = 0,07508

P(X = 1) = 9·0,25·0,75⁸ = 0,2253

اجمعها

P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003

الإجابة

P = 0,3003

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9332

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 340 kg, σ_T = 12·√4 = 24 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (304 − 340)/24 = −1,5

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 11,09 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 6, t = 3,707

هامش الخطأ

E = 3,707·5,2/√7 = 7,286

الفترة

3,8 ± 7,286 → [−3,486, 11,09]

الإجابة

الحد الأعلى = 11,09 mmHg

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 2230

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 2,576²·0,7·0,3/0,025² = 2230

قرّب إلى الأعلى

n = 2230

الإجابة

n = 2230

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,4

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

إحصائية الاختبار

t = (123,6 − 120)/1,5 = 2,4

الإجابة

t = 2,4

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 118

هامش الخطأ

E = 2,576·15/√16 = 9,66

حد الفترة

U = 108,3 + 9,66 = 118

الإجابة

U = 118

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9959

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 980 − 30·134/5 = 176

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 4372 − 134²/5 = 780,8

معامل الارتباط

r = 176/√(40·780,8) = 0,9959

الإجابة

r = 0,9959

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 3,914

المتوسطات

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 480/6 = 80

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 318

خط الانحدار

b = 318/70 = 4,543

a = 80 − 4,543·22 = −19,94

ŷ = −19,94 + 4,543·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = −19,94 + 4,543·24 = 89,09

البُواقي

e = 93 − 89,09 = 3,914

الإجابة

e = 3,914

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 5,433

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المناوبة النهارية: 100·44/220 = 20, 100·66/220 = 30, 100·110/220 = 50

المناوبة الليلية: 120·44/220 = 24, 120·66/220 = 36, 120·110/220 = 60

إحصاءة مربع كاي

χ² = (25 − 20)²/20 + (23 − 30)²/30 + (52 − 50)²/50 + (19 − 24)²/24 + (43 − 36)²/36 + (58 − 60)²/60

χ² = 5,433

الإجابة

χ² = 5,433

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 25,38

التكرارات المتوقَّعة

المصنع A: 40, 60

المصنع B: 24, 36

المصنع C: 32, 48

إحصاءة مربع كاي

χ² = (52 − 40)²/40 + (48 − 60)²/60 + (30 − 24)²/24 + (30 − 36)²/36 + (14 − 32)²/32 + (66 − 48)²/48

χ² = 25,38

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

25,38 > 9,210

الإجابة

χ² = 25,38

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology