مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يحدث خطأ من النوع الأول عندما يقوم الباحث بـ:

Aاستخدام اختبار إحصائي غير مناسب
Bعدم رفض فرضية صفرية خاطئة
Cجمع بيانات كثيرة جدًا
Dرفض فرضية صفرية صحيحة في الواقع

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يريد باحث أن يختبر ما إذا كانت طريقة تدريس جديدة تسبب درجات أفضل، لكنه لا يستطيع توزيع الطلاب عشوائيًا. أي تصميم يعطي أقوى دليل سببي في هذه الحالة؟

Aمقارنة صفوف متطابقة تُقاس قبل التدريس وبعده، مع مجموعة مقارنة
Bقياس الصف الذي يستخدم الطريقة الجديدة فقط بعد التدريس
Cحساب الارتباط بين الدرجات ومدى حب الطلاب للمعلم
Dسؤال الطلاب عما إذا كانوا يظنون أن الطريقة نجحت

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 16, 39, 40, 57, 37, 22, 37.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 150؟

μ = 170σ = 10x = 150

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

σ =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €1 للمشاركة. تربح €4 باحتمال 0,1 و€20 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €1€4: p = 0,1€20: p = 0,05

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل أكياس الإسمنت مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 kg وانحراف معياري 0,5 kg. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 6 منها 149,4 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6> 149,4 kg

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 5% منها (المئين 5).

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 15 مفردة متوسطها 24 وانحرافها المعياري s = 19. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 15x̄ = 24s = 1995%t(14) = 2,145

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 40. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 3 على الأكثر؟

σ = 40E = 395%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 20 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق −7,57 والانحراف المعياري للفروق 9,4. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 20d̄ = −7,57s_d = 9,4

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 165 من 300 مريضًا على العلاج A، و 74 من 120 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 165n₁ = 300x₂ = 74n₂ = 120

z =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 23؟

n = 6ŷ = 23

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة النهارية، طفيف».

مجموع الصف = 84مجموع العمود = 62N = 126

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 3 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟

2 × 3

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · رفض فرضية صفرية صحيحة في الواقع

لماذا هذه هي الإجابة

يدّعي خطأ النوع الأول وجود تأثير غير موجود، واحتماله يساوي مستوى الدلالة (غالبًا 0,05). أما خطأ النوع الثاني فيُغفل تأثيرًا حقيقيًا.

الإجابة

D · رفض فرضية صفرية صحيحة في الواقع

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · مقارنة صفوف متطابقة تُقاس قبل التدريس وبعده، مع مجموعة مقارنة

لماذا هذه هي الإجابة

يضبط تصميم المجموعات غير المتكافئة مع قياس قبلي وبعدي الفروقَ الأولية والتغيرَ عبر الزمن، وإن كان أضعف من التجربة العشوائية.

الإجابة

A · مقارنة صفوف متطابقة تُقاس قبل التدريس وبعده، مع مجموعة مقارنة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,3

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 248/7 = 35,43

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−19,43)² + 3,571² + 4,571² + 21,57² + 1,571² + (−13,43)² + 1,571² = 1062

الانحراف المعياري

s = √(1062/6) = 13,3

الإجابة

s = 13,3

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9772

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

الإجابة

P = 0,9772

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 0,8047

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

التباين

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

الإجابة

σ = 0,8047

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 0,4 €

النتائج الصافية

G: 3 (p = 0,1), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,85)

القيمة المتوقعة

E(G) = 3·0,1 + 19·0,05 − 1·0,85 = 0,4 €

الإجابة

E(G) = 0,4 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6879

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 150 kg, σ_T = 0,5·√6 = 1,225 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (149,4 − 150)/1,225 = −0,49

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,49) = 0,6879

الإجابة

P = 0,6879

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 241,8 g

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

العودة إلى x

x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g

الإجابة

x = 241,78 g

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 13,48

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 14, t = 2,145

هامش الخطأ

E = 2,145·19/√15 = 10,52

الفترة

24 ± 10,52 → [13,48, 34,52]

الإجابة

الحد الأدنى = 13,48

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 683

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·40/3)² = 683

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 683

الإجابة

n = 683

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −3,601

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 9,4/√20 = 2,102

إحصائية الاختبار

t = −7,57/2,102 = −3,601

الإجابة

t = −3,601

مع df = 19، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,093؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −1,246

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

نسبتا العينتين

p̂₁ = 165/300 = 0,55

p̂₂ = 74/120 = 0,6167

p̂ = 239/420 = 0,569

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,569·0,431·(1/300 + 1/120)) = 0,05349

إحصائية الاختبار

z = (0,55 − 0,6167)/0,05349 = −1,246

الإجابة

z = −1,246

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9317

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 116/6 = 19,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 153,3

معامل التحديد

r² = −50²/(17,5·153,3) = 0,9317

الإجابة

r² = 0,9317

نحو 93,17% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 2,333

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 121/6 = 20,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42,5

خط الانحدار

b = −42,5/17,5 = −2,429

a = 20,17 − (−2,429)·3,5 = 28,67

ŷ = 28,67 − 2,429·x

حلّ لإيجاد x

x = (23 − 28,67)/(−2,429) = 2,333

الإجابة

x = 2,333

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 41,33

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 84·62/126 = 41,33

الإجابة

E = 41,33

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 2

درجات الحرية

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

الإجابة

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology